摘要： 給出了一種基于FPGA的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。該方法先通過(guò)MATLAB設(shè)計(jì)出一個(gè)具有具體指標(biāo)的FIR濾波器， 再對(duì)濾波器系數(shù)進(jìn)行處理， 使之便于在FPGA中實(shí)現(xiàn)， 然后采用基于分布式算法和CSD編碼的濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)， 從而避免了乘法運(yùn)算， 節(jié)約了硬件資源，其流水線(xiàn)的設(shè)計(jì)方式也提高了運(yùn)行速度。Matlab和Modelsim仿真表明， 該設(shè)計(jì)功能正確， 能實(shí)現(xiàn)快速濾波。
0 引言
數(shù)字濾波器在語(yǔ)音與圖像處理、模式識(shí)別、雷達(dá)信號(hào)處理、頻譜分析等應(yīng)用中都具有重要作用。它能避免模擬濾波器所無(wú)法克服的溫漂和噪聲等問(wèn)題， 同時(shí)比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定性好、體積小、更加靈活， 因而得到廣泛應(yīng)用。在聲波測(cè)井中， 通常需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確的濾波，并且對(duì)濾波器具有嚴(yán)格的實(shí)時(shí)性要求。本文利用輔助Matlab設(shè)計(jì)工具， 設(shè)計(jì)了一種基于FPGA且可滿(mǎn)足測(cè)井需求的高階快速數(shù)字濾波器。
1 線(xiàn)性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)
數(shù)字濾波器的種類(lèi)很多， 分類(lèi)的方法也不盡相同。從數(shù)字濾波器的單位沖擊響應(yīng)來(lái)看， 數(shù)字濾波器分為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器(FIR) 和無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)。相對(duì)于IIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器可以進(jìn)行準(zhǔn)確的線(xiàn)性相位設(shè)計(jì)， 而且其結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定的量化濾波器系數(shù)。針對(duì)于聲波測(cè)井處理具有線(xiàn)性相位要求的聲波信號(hào)， FIR濾波器是首選。
在時(shí)域中， FIR濾波器的輸入輸出過(guò)程是一個(gè)輸入信號(hào)與單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行線(xiàn)性卷積的過(guò)程， 其差分方程表達(dá)式為：
其中， y (n) 為濾波輸出， x (n) 為采樣數(shù)據(jù)， h (n) 為濾波器抽頭系數(shù)。其結(jié)構(gòu)如圖1 (a)所示， 圖中， N-1階FIR濾波器要用N個(gè)系數(shù)描述， 通常， 需要N個(gè)乘法器和N-1個(gè)兩輸入加法器才能實(shí)現(xiàn)。不難發(fā)現(xiàn)， 乘法器的系數(shù)正好是傳輸函數(shù)的系數(shù)， 因此， 該結(jié)構(gòu)且稱(chēng)為直接型結(jié)構(gòu)。
對(duì)于系數(shù)對(duì)稱(chēng)的FIR線(xiàn)性相位濾波器， 可將式(1) 寫(xiě)成如下形式：
系數(shù)對(duì)稱(chēng)的改進(jìn)型FIR濾波器的結(jié)構(gòu)如圖1(b) 所示。該結(jié)構(gòu)把系數(shù)對(duì)稱(chēng)(相同或相反) 的抽頭合并之后再作乘法， 這樣可使乘法器數(shù)量降為原有的一半， 但也增加了額外的加法器。
圖1 FIR濾波器結(jié)構(gòu)
2 設(shè)計(jì)方法與指標(biāo)
FDATool是Matlab信號(hào)處理工具箱里專(zhuān)用的濾波器設(shè)計(jì)分析工具， 該工具的主要作用是按照設(shè)計(jì)指標(biāo)提取濾波器系數(shù)。用FDATool設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的關(guān)鍵在于濾波器類(lèi)型、窗函數(shù)、濾波器階數(shù)、截止頻率等參數(shù)的選擇。其中窗函數(shù)用于決定阻帶衰減和過(guò)渡帶帶寬， 常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗、海明窗和布萊克曼窗。矩形窗和漢寧窗阻帶衰減較小， 而布萊克曼窗過(guò)渡帶較大， 相對(duì)來(lái)說(shuō)， 海明窗更符合設(shè)計(jì)要求， 它的最小阻帶可以達(dá)到54.5dB， 歸一化過(guò)渡帶帶寬為3.11π/M (濾波器階數(shù)N=2M+1)。針對(duì)聲波測(cè)井信號(hào)， 設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)進(jìn)行表1所列的參數(shù)設(shè)置。
表1 濾波器參數(shù)選擇
圖2所示是該濾波器的幅頻和相頻響應(yīng)曲線(xiàn)，該曲線(xiàn)在通帶內(nèi)保持線(xiàn)性相位， 阻帶衰減大于52dB， 過(guò)渡帶帶寬為1.65kHz。抽頭系數(shù)可以在工具箱中量化為定點(diǎn)整型數(shù)據(jù)， 以便在FPGA實(shí)現(xiàn)階數(shù)為127的濾波器， 該濾波器一共有128個(gè)系數(shù)。對(duì)于階數(shù)較大的濾波器來(lái)說(shuō)， 其量化對(duì)阻帶衰減和過(guò)渡帶的影響極小。
圖2 濾波器幅頻和相頻響應(yīng)特性曲線(xiàn)
3 基于FPGA的濾波器設(shè)計(jì)
用FPGA設(shè)計(jì)FIR濾波器的關(guān)鍵在于如何處理占用大量資源的乘法單元。分布式算法(DA) 的提出可將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為移位相加運(yùn)算， 從而節(jié)約硬件資源。若令Hk為濾波器系數(shù)， xk (n) 為n時(shí)刻的采樣輸入， y (n) 為n時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)， 那么， 式(1) 就可以等效于下式：
把數(shù)據(jù)的源數(shù)據(jù)格式規(guī)定為2的補(bǔ)碼形式，則有：
式中， xkb (n) 為二進(jìn)制數(shù)， 可取值為0或1；xk0 (n) 為符號(hào)位， 為1表示數(shù)據(jù)為負(fù)， 為0表示數(shù)據(jù)為正。因此， 將(4) 式代入(3) 式可得：
式(5) 的形式被稱(chēng)為分布式算法?？梢钥闯?， 方括號(hào)內(nèi)表示輸入變量的一個(gè)數(shù)據(jù)位和所有濾波器抽頭系數(shù)H0～HN的每一位進(jìn)行“與” 運(yùn)算并求和。而指數(shù)部分則說(shuō)明了求和結(jié)果的位權(quán)，整數(shù)乘以2b就是左移b位， 對(duì)此可以通過(guò)硬件連線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)， 而不占用邏輯資源。這樣就可以通過(guò)建立查找表來(lái)實(shí)現(xiàn)方括號(hào)中的運(yùn)算。查找表可用所有輸入變量的同一位進(jìn)行尋址， 這便是基于查找表的分布式算法(LUT-DA)。
LUT-DA算法的查找表大小為B·2N bits， 其中B為輸入數(shù)據(jù)的位寬， N為濾波器階數(shù)。隨著濾波器階數(shù)的增加， 查找表大小是2的指數(shù)增長(zhǎng)；當(dāng)B為16， N為128時(shí)， 查找表的大小已經(jīng)不可想象。故將查找表分割成多個(gè)子表， 可以有效解決這個(gè)問(wèn)題， 這也衍生了比較有效的串行LUT-DA算法和并行LUT-DA算法， 但兩者都有不足的地方。對(duì)于串行結(jié)構(gòu)， 要完成一次輸出， 需要大于B的多個(gè)時(shí)鐘周期； 而對(duì)于并行結(jié)構(gòu)， 雖然可以一個(gè)時(shí)鐘周期完成一次輸出， 但需要復(fù)制B個(gè)完全相同的LUT表， 而這會(huì)增加硬件資源的開(kāi)銷(xiāo)。
為了兼顧速度和面積， 本文設(shè)計(jì)了一種基于DA算法原理的CSD-DA算法。首先， 將系數(shù)式(3) 中的固定系數(shù)Hk按2的冪展開(kāi)后可得：
然后交換移位和累加順序， 則可得到下式：
式中， Hkb是值為0或者1的權(quán)重系數(shù)； Sk為1表示Hk為正， 為-1則表示Hk為負(fù)； s′kb的值可取0、-1或者1。經(jīng)過(guò)(4) 式的展開(kāi)， 乘法運(yùn)算將被全部轉(zhuǎn)換為移位相加運(yùn)算， 其中權(quán)重為0的部分可以剔除而不進(jìn)行計(jì)算。為了更進(jìn)一步減少Hkb陣列中的非零項(xiàng)， 可將Hk編碼為CSD碼， 即從二進(jìn)制編碼最低的有效位開(kāi)始， 用10···01來(lái)取代所有大于或等于2的1序列， 1表示該位為-1。由于CSD表示其中任何相鄰的兩位中， 必包含一個(gè)0，故1的數(shù)量最多不會(huì)超過(guò)N/2。平均來(lái)說(shuō)， CSD表示其中大約有1/3的位為非零值， 這比補(bǔ)碼表示少大約1/3的非零位。假設(shè)h= (15) 10= (01111) 2，y=hx=x (23+22+21+20)， 而如果將(15) 10編碼為(10001) csd， 那么， Y=x· (24-20)。采用二進(jìn)制編碼方式， 將用到3個(gè)加法器， 而用CSD編碼， 則只用了一個(gè)減法器， 可見(jiàn)， CSD編碼可以從本質(zhì)上減少硬件資源開(kāi)銷(xiāo)。經(jīng)過(guò)CSD編碼優(yōu)化后， s′kb非零值的個(gè)數(shù)會(huì)遠(yuǎn)小于Hkb的非零值個(gè)數(shù)。
對(duì)于線(xiàn)性相位系數(shù)對(duì)稱(chēng)的FIR濾波器， 為了減少乘法單元， 可選擇圖3所示的結(jié)構(gòu)。由于所有的乘法運(yùn)算都可轉(zhuǎn)化為大量的加法和減法運(yùn)算， 故將導(dǎo)致關(guān)鍵路徑過(guò)長(zhǎng)， 系統(tǒng)運(yùn)行速度較低。而加入流水線(xiàn)寄存器， 則可減少關(guān)鍵路徑長(zhǎng)度， 從而提高系統(tǒng)的最大工作頻率。在b為定值時(shí)， s′kb的非零值個(gè)數(shù)存在不確定性， 故在進(jìn)行流水線(xiàn)設(shè)計(jì)的時(shí)候， 可根據(jù)s′kb進(jìn)行靈活的分割， 路徑越長(zhǎng)， 加入的流水線(xiàn)寄存器越多。為了防止中間結(jié)果的溢出， 寄存器的位寬要有冗余設(shè)計(jì)， 對(duì)于有符號(hào)的數(shù)， 其位寬取值為M+log2N-1， M為上級(jí)累加器位寬， N為濾波器階數(shù)。
圖3 流水線(xiàn)CSD-DA算法局部結(jié)構(gòu)
從圖3的流水優(yōu)化CSD-DA算法結(jié)構(gòu)可見(jiàn)， 所有乘法都會(huì)轉(zhuǎn)換為移位加法， 移位運(yùn)算可用硬件連線(xiàn)實(shí)現(xiàn)， 整個(gè)結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)了合理的流水線(xiàn)分割。
表2所列是不同結(jié)構(gòu)濾波器的綜合結(jié)果。其中并行結(jié)構(gòu)是最差的一種結(jié)構(gòu)， 它占用資源多、速度慢； 串行LUT-DA結(jié)構(gòu)， 雖然占用資源少，最大工作頻率高， 但畢竟是串行結(jié)構(gòu)， 不能在一個(gè)時(shí)鐘節(jié)拍完成對(duì)一個(gè)采樣點(diǎn)的濾波運(yùn)算； 而流水線(xiàn)CSD-DA結(jié)構(gòu)則無(wú)論在速度， 還是面積上，都具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)。如果工作時(shí)鐘為75MHz， 那么， 一個(gè)時(shí)鐘節(jié)拍便可以完成一次輸出， 處理330個(gè)采樣點(diǎn)的單通道信號(hào)僅需4.4μs，可以滿(mǎn)足測(cè)井實(shí)時(shí)性要求。
表2 濾波器的綜合結(jié)果
4 結(jié)果分析
為了驗(yàn)證濾波器的功能是否正確， 可對(duì)本設(shè)計(jì)在Modelsim中進(jìn)行仿真。若原始波形為帶噪聲的聲波信號(hào)， 那么， 其濾波的結(jié)果如圖4所示。
圖4 濾波器在Modelsim中的仿真結(jié)果
圖5所示是濾波器在Matlab中的仿真結(jié)果， 可以看出， Modelsim和Matlab的仿真結(jié)果一致。在頻域上， 對(duì)比圖5 (a) 和圖5 (b) 可以看到， 其濾波后的波形只保留了5kHz~18kHz的頻譜部分， 這說(shuō)明流水線(xiàn)CSD-DA結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)正確。
圖5 濾波器在Matlab中的仿真結(jié)果
5 結(jié)束語(yǔ)
本文詳細(xì)講述了通過(guò)Matlab工具設(shè)計(jì)FIR線(xiàn)性相位濾波器的方法， 并針對(duì)聲波信號(hào)設(shè)計(jì)了優(yōu)于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的流水線(xiàn)CSD-DA結(jié)構(gòu)， 該結(jié)構(gòu)具有較明顯的速度和面積優(yōu)勢(shì)。文中也通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了設(shè)計(jì)的合理性和正確性。但值得指出的是， 該結(jié)構(gòu)只適合固定濾波器系數(shù)的場(chǎng)合， 而如果要進(jìn)行修改， 則需要重新對(duì)系數(shù)進(jìn)行CSD編碼和流水線(xiàn)分割。