摘   要： 將高斯混合尺度算法和方向小波分解相結(jié)合，建立了小波分解系數(shù)的鄰域模型，并基于該模型提出一種有效減少計算消耗的局部去噪方法。通過一系列模擬圖像去噪試驗，證明了此算法的有效性。
關(guān)鍵詞： 貝葉斯估計  高斯混合尺度  去噪  統(tǒng)計模型

　　圖像去噪在計算機視覺、模式識別等領(lǐng)域是十分重要的技術(shù)。常用的方法難以解決噪聲去除與邊緣模糊的矛盾。因此尋找一種既能有效去除噪聲又能較好地保留邊緣的圖像去噪方法一直是這一領(lǐng)域的熱門話題。小波變換是一種強有力的數(shù)學(xué)分析工具，近年來受到廣泛的關(guān)注，其應(yīng)用已遍及信號和圖像分析的多個研究領(lǐng)域。小波變換能夠同時給出信號和圖像的時(空)域和頻域信息，因此，在小波變換域中進行降噪具有空間與頻率的雙重選擇性。本文基于高斯混合尺度建立了方向小波的方向塔式[1]分解系數(shù)鄰域模型，并研究了一種局部去噪方法——Bayes最小平方估計。
1  圖像統(tǒng)計模型及去噪
　　從隨機樣本觀測中注意到，單獨的圖像并非具有局部同態(tài)性，反應(yīng)在帶通濾波器的邊緣響應(yīng)特征上就是在原點具有尖峰，而衰減速度落后于高斯函數(shù)曲線。近年來，非高斯特性的圖像統(tǒng)計模型得到了發(fā)展。由于高斯混合尺度能最大逼近非高斯邊緣響應(yīng)，加之完美的數(shù)學(xué)框架，使其成為各類圖像處理應(yīng)用的首選。圖像邊緣響應(yīng)與高斯混合尺度模擬如圖1所示。小波分解各子波帶中，系數(shù)隨尺度變化規(guī)律允許利用點的非線性特點去除噪聲（通常選用閥值法）。

　　圖像局部系數(shù)模值之間的相關(guān)性如同邊緣相關(guān)特性一樣，可以用隨機域空間變量建模。高斯向量與隱系數(shù)乘積的一個特例就是高斯混合尺度（Gaussian Scale Mixture，GSM）。本文假設(shè)局部變量由連續(xù)可變的系數(shù)控制，以捕捉圖像小波系數(shù)邊緣密度的峰值抖動，并推導(dǎo)出適用于GSM模型方法的最優(yōu)最小平方一步Bayes估計。
2  圖像概率模型
2.1 高斯混合尺度

2.2 小波系數(shù)的GSM模型
　　GSM模型既可描述小波系數(shù)邊緣的形狀又可描述鄰系數(shù)模值間的相關(guān)性。為了從局部描述建立圖像的全局模型，必須明確系數(shù)的鄰域結(jié)構(gòu)和權(quán)系數(shù)的分布。將系數(shù)分劃到不相重疊的鄰域，并確定權(quán)系數(shù)（看作獨立變量）的邊緣模型或者通過權(quán)系數(shù)全集來確定聯(lián)合密度，雖然這樣可以簡化全局模型的定義，但正交鄰域的引入將導(dǎo)致鄰域邊界不連續(xù)點的去噪問題。
　　一種解決方法就是將GSM作為塔中以每個系數(shù)為中心的系數(shù)簇的局部行為描述。由于鄰域相互重疊，每個系數(shù)都同屬于多個鄰域。這種局部模型暗含著定義了全局Markov模型，由給定了鄰域的各簇中的系數(shù)條件概率密度來描述，并假設(shè)條件獨立于其他系數(shù)。但最后的模型結(jié)構(gòu)要求的精確統(tǒng)計推理（計算Bayes估計）對計算提出挑戰(zhàn)。因此簡化了鄰域中心參考系數(shù)的估計問題。
2.3 權(quán)系數(shù)先驗概率密度
　　要完成該模型，還需要確定權(quán)系數(shù)的概率密度pz(z)。本文中應(yīng)用無信息先驗方法。此方法的優(yōu)點是它無需調(diào)節(jié)任何參數(shù)就可適應(yīng)含噪的情況，曾用于圖像去噪中建立邊緣先驗。其中最廣泛使用的是Jeffery先驗?！南禂?shù)X估計權(quán)系數(shù)z，應(yīng)用下面的形式：

3  圖像去噪
　　圖像去噪過程：首先，分解圖像到不同尺度、方向的塔式子波帶；然后，對各子波帶（除低通殘余帶外）分別去噪；最后，通過塔式反變換，得到去噪圖像。假設(shè)圖像被已知方差的獨立加性高斯白噪聲所侵蝕（此方法同樣適用于已知協(xié)方差的非高斯白噪聲)，向量Y對應(yīng)于塔式表達的由N個觀測系數(shù)組成的鄰域，則：

到塔式子波帶獲得，(N_y，N_x)為圖像的維數(shù)，此δ信號與噪聲信號具有相同的能量譜，但不受隨機擾動的影響。Cw的元素可直接計算作為樣本協(xié)方差(例如，通過對子波帶的所有鄰域成對系數(shù)的乘積取平均)。此過程很容易推廣到非白噪聲，只須換δ函數(shù)為噪聲能量譜密度平方根的Fourier反變換。
　　給定C_w，信號協(xié)方差C_u就可以從觀測協(xié)方差C_y計算得到。通過z的期望值則可以從C_Y/z得到C_y=E{z}C_u+C_w 。
　　令E{z}=1，則：
　　C_u=C_y-C_w      　　　　　 (6)
　　通過特征向量分解并令所有可能為負的特征值為零，保證Cu半正定。
3.1 Bayes最小平方估計
　　對于每個鄰域，希望從觀測系數(shù)列Y估計得到鄰域的中心參考系數(shù)xc，而Bayes最小平方估計(BLS)正是條件平均(如式(7))。假設(shè)函數(shù)惟一收斂，則可以交換積分次序。這樣，此方法即是計算x在條件z下，以后驗密度p(z/Y)為權(quán)重的Bayes最小平方估計的均值。下面逐個討論其組成元素。
　　 

3.2 局部維納估計
　　GSM模型的關(guān)鍵優(yōu)勢在于條件z下系數(shù)鄰域向量X為高斯形，且假設(shè)為加性高斯噪聲，此時8鄰域的期望值(3×3模塊）簡化為線性維納估計。

3.3 權(quán)系數(shù)的后驗分布
　　方法中(7)式的另一元素是以觀測鄰域值為條件的權(quán)系數(shù)分布，應(yīng)用Bayes規(guī)則得：
　　

　　對函數(shù)p_z(z)選用無信息Jeffery先驗，在原點得到修正。條件概密p(Y/z)由(5)式給出，并通過(9)式和V的定義簡化得：
　　　　

　　去噪過程如下。
　　(1)分解圖像到子波帶。
　　(2)對于每個子波帶（除低通殘余波帶）：
　?、購膱D像域噪聲協(xié)方差計算鄰域噪聲協(xié)方差Cw。
　?、诠烙嫼豚徲騾f(xié)方差Cy。
　?、鄹鶕?jù)(6)式，利用Cy和Cw估計Cu。
　　④計算∧和M。
　?、輰τ诿恳秽徲颍?a)在鄰域內(nèi)對于每個z值：根據(jù)(11)式計算E{xc/Y，z}；根據(jù)(13)式計算p(Y/z)。(b)根據(jù)(12)和(3)式計算p(z/Y)。(c)根據(jù)(7)式計算E{xc/Y}的數(shù)值。
　　(3)利用經(jīng)過去噪處理的子波帶和低通殘余子波帶重建去噪圖像。
4  應(yīng)用結(jié)果
　　應(yīng)用方向塔式變換將圖像分解至各子波帶(文中使用4個方向、5個尺度的方向帶通子波帶，1個高通和1個低通殘余子波帶)。試驗了鄰域結(jié)構(gòu)(如空間位置、尺度和方向的選擇)，平均來說參考系數(shù)周圍的3×3區(qū)域結(jié)構(gòu)可取得較好的結(jié)果。對z，在其log函數(shù)空間（試驗中使用區(qū)間[log(z_min)=-20.5，log(z_max=3.5)]）均勻采樣，這樣對于相同精度要求只須較少的采樣點(與線性采樣相比)，且z的Jeffery先驗在log域中為常數(shù)。在256灰度圖像（被計算機模擬的5個不同方差的高斯噪聲所污染）上測試該模型，得到的圖像去噪實驗結(jié)果表如表1所示。表中，PSNR＝20log₁₀(255/σe)，為峰值信噪比，單位dB；σe為誤差標準偏差。

　　將此方法與2種廣泛應(yīng)用的去噪方法比較：與維納濾波法去噪結(jié)果的對比圖如圖2所示。與Db8小波域低頻濾波法去噪結(jié)果對比圖如圖3所示。從對比結(jié)果可以看到本文所采用的方法充分保留了原始圖像的特征,去噪效果明顯優(yōu)于其他2種方法。

5  結(jié)  論
　　本文討論了一種基于全局緊框架的方向塔式表達中的局部高斯混合尺度模型。在許多方面該統(tǒng)計模型不同于先前的模型。(1)原來的模型或基于可分正交小波或基于此類小波的冗余形式，而本方法基于全局緊框架且可包含斜角方向可選的基函數(shù)。此表達形式增加了冗余，同時提高了方向的辨識能力從而增強了去噪能力。(2)模型暗含了相鄰系數(shù)間聯(lián)合變量而不只是考慮邊緣響應(yīng)或局部變量。處理結(jié)果證明了此方法的去噪能力，但此方法也有一定的局限性，還需深入研究。
參考文獻
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