0 引言

    隨著電子技術(shù)的快速發(fā)展，電子線路設(shè)計(jì)的集成度和復(fù)雜度越來越高，對(duì)PCB設(shè)計(jì)的電源完整性要求也越來越高。目前針對(duì)電源完整性問題的研究方法主要有基于目標(biāo)阻抗的頻域方法和基于傳輸功率的時(shí)域方法。文獻(xiàn)[1]根據(jù)目標(biāo)阻抗和自諧振點(diǎn)對(duì)所需電容器種類和數(shù)目進(jìn)行計(jì)算和仿真分析^[1]。文獻(xiàn)[2]中提出了基于傳輸功率的研究方法^[2]。此外還有其他一些方法，比如在去耦支路引入串聯(lián)電阻^[3]、引入電磁帶隙結(jié)構(gòu)^[4]等設(shè)計(jì)高頻去耦網(wǎng)絡(luò)。基于目標(biāo)阻抗的設(shè)計(jì)方法已有很多相關(guān)論述，而大部分研究的關(guān)注點(diǎn)在于容值計(jì)算以及去耦特性分析等，較少考慮實(shí)際高速高密度PCB設(shè)計(jì)面臨的布局布線資源有限的問題，因此實(shí)用性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[5]將遺傳算法應(yīng)用于去耦電容在PCB上的優(yōu)化放置^[5]，通過優(yōu)化電容器布局增強(qiáng)去耦效果。文獻(xiàn)[6]將遺傳算法應(yīng)用于PDN設(shè)計(jì)^[6]，取得了一定效果。然而標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在處理多極值問題時(shí)全局收斂性較差，本文采用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)所需去耦電容器的種類和數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，并借助Cadence仿真工具驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性和合理性。

1 電容去耦原理及計(jì)算方法

    電容去耦原理可以通過圖1說明。將圖中的穩(wěn)壓電源及去耦電容看作一個(gè)復(fù)合的電源系統(tǒng)，當(dāng)負(fù)載電流變化很快時(shí)，穩(wěn)壓電源不能夠及時(shí)響應(yīng)負(fù)載變化，此時(shí)電容器充當(dāng)了局部電源，保證負(fù)載電壓穩(wěn)定。

    從阻抗角度而言，去耦電容降低了電源系統(tǒng)的交流阻抗，由式（1）可以看出負(fù)載電流變化時(shí)，Z越小，負(fù)載電壓變化量越小，系統(tǒng)電源越穩(wěn)定。

    實(shí)際的電容器模型為RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)信號(hào)頻率小于諧振頻率時(shí)呈容性，而在高于諧振頻率時(shí)呈感性。其簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型由式（2）表示，其中f₀為諧振頻率。

    傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法通常是將目標(biāo)頻率范圍分段，每個(gè)頻段對(duì)應(yīng)一種容值的去耦電容，采用多個(gè)不同容值的電容器并聯(lián)組成去耦電容網(wǎng)絡(luò)，使電源系統(tǒng)滿足目標(biāo)阻抗要求。圖2顯示了兩種不同容值的電容器C₁和C₂并聯(lián)的頻率響應(yīng)。

    可以看到，在兩個(gè)電容的自諧振點(diǎn)之間存在一個(gè)阻抗尖峰，該點(diǎn)稱為反諧振點(diǎn)，由于該頻段_C1呈現(xiàn)感性，C2呈現(xiàn)容性，實(shí)質(zhì)是LC并聯(lián)諧振導(dǎo)致。該點(diǎn)阻抗可以由式（3）估算^[7]。

其中s=j2πf_p，f_p為反諧振頻率。

    傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通過添加自諧振頻率在反諧振點(diǎn)附近的電容來抑制并聯(lián)諧振，但同時(shí)又會(huì)引入新的反諧振點(diǎn)，因此需要借助仿真軟件反復(fù)修改驗(yàn)證，整個(gè)過程較為繁瑣，并且需要憑借一定的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。

2 基于混合遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)

    由于遺傳算法本身具有較大的隨機(jī)性，在針對(duì)多峰性質(zhì)的最優(yōu)化求解時(shí)往往陷入局部極值。本文采用模擬退火與遺傳算法相結(jié)合的混合遺傳算法，將項(xiàng)目自行設(shè)計(jì)的高速PCB作為測(cè)試板，針對(duì)1.5 V電源進(jìn)行電容去耦網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)。結(jié)合分頻段設(shè)計(jì)思想，將目標(biāo)頻率范圍進(jìn)行分段，分別對(duì)應(yīng)一種電容，每種電容器的數(shù)目組合構(gòu)成種群個(gè)體。選定的可用電容器種類及參數(shù)如表1所示（默認(rèn)安裝電感均為225 pH）。

    首先由隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生初始種群，對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行編碼形成染色體。目標(biāo)函數(shù)即為該個(gè)體表示的電容器總數(shù)目，由式(4)計(jì)算得出，其中x(i)為個(gè)體所表征的每種電容器數(shù)目，N為電容器容值種類。

    對(duì)種群進(jìn)行初始化以后，根據(jù)特定的適應(yīng)函數(shù)計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度（即入選概率），所采用的適應(yīng)函數(shù)和適應(yīng)度分別由式(5)和式(6)表示。

其中M為種群規(guī)模。

    值得注意的是，式(5)根據(jù)個(gè)體是否滿足目標(biāo)阻抗確定相應(yīng)的適應(yīng)函數(shù)值。下面對(duì)具體的驗(yàn)證策略加以說明，圖3為4種容值的電容器并聯(lián)時(shí)PDN阻抗示意圖，其中虛線為未添加去耦網(wǎng)絡(luò)的阻抗曲線。

    低頻段由VRM與體去耦電容C₀抑制電源阻抗，高頻段由電容并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)低阻抗。f_b和f_c分別為起始頻率和截止頻率。對(duì)起始頻率點(diǎn)，由VRM與體去耦電容器并聯(lián)，此處以Cadence仿真工具所提供的VRM模型為例，如圖4所示，其中L_out和R_out分別是VRM感應(yīng)點(diǎn)與實(shí)際負(fù)載之間的輸出電感和電阻。

    為了保證設(shè)計(jì)余量，以VRM與體去耦電容器并聯(lián)諧振阻抗作為該點(diǎn)阻抗值。對(duì)截止頻率點(diǎn)，此時(shí)處于自諧振頻率最高的電容器的感性區(qū)段，由式(3)估算該點(diǎn)阻抗值。對(duì)于反諧振點(diǎn)(圖3中f_b和f_c之間的阻抗尖峰點(diǎn))，由式(5)計(jì)算該點(diǎn)阻抗值。將驗(yàn)證點(diǎn)的阻抗值與目標(biāo)阻抗比較，確定個(gè)體的有效性。

    得到初代所有個(gè)體的入選概率之后，根據(jù)適應(yīng)值保留最優(yōu)個(gè)體。采用輪盤賭的方式選擇親代個(gè)體進(jìn)行交叉重組。該過程可以采用單點(diǎn)交叉或者多點(diǎn)交叉，交叉點(diǎn)由隨機(jī)數(shù)決定。完成交叉重組后淘汰掉最差個(gè)體，加入最優(yōu)個(gè)體補(bǔ)全種群，保留當(dāng)前最優(yōu)解。然后對(duì)種群所有個(gè)體進(jìn)行swap操作，即對(duì)染色體的某兩個(gè)基因進(jìn)行互換得到新個(gè)體，按照Metropolis準(zhǔn)則計(jì)算接受概率。Metropolis準(zhǔn)則的定義由式(7)所示：

其中P為候選解的接受概率，ΔE為新解與原解目標(biāo)函數(shù)值的差，T為模擬退火的溫度參數(shù)^[8]。

    Metropolis準(zhǔn)則使得在初始溫度較高時(shí)能夠以較大的概率接受較差解，而且隨著溫度的降低該接受概率將會(huì)逐漸減小。因此該算法更有可能避免陷入局部極小值，從而獲得全局最優(yōu)解。

    初始時(shí)設(shè)定起始溫度t₀，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式t₀=kδ進(jìn)行估計(jì)，其中δ為目標(biāo)函數(shù)的最大差值，k為一個(gè)足夠大的系數(shù)。在每次循環(huán)時(shí)模擬物理退火過程，按照t_n=λt_n-1更新溫度參數(shù)。當(dāng)滿足終止條件時(shí)結(jié)束程序，輸出最優(yōu)個(gè)體。終止條件設(shè)定為最大進(jìn)化代次和終止溫度。

    采用MATLAB進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，初始時(shí)指定種群規(guī)模和可用電容器種類、編碼長(zhǎng)度等一系列運(yùn)算參數(shù)。整個(gè)算法流程圖如圖5所示。

    設(shè)定種群規(guī)模為50，可用電容器種類為10，限定電容器總數(shù)不超過80個(gè)，指定終止溫度和進(jìn)化代數(shù)。經(jīng)過30代進(jìn)化后，繪制出進(jìn)化代數(shù)與最優(yōu)結(jié)果的進(jìn)化曲線，如圖6所示。

3 設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比分析

    為了進(jìn)行對(duì)比分析，采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法設(shè)計(jì)去耦網(wǎng)絡(luò)，同樣進(jìn)行30次進(jìn)化后，最終結(jié)果見表2。通常采用Cadence仿真工具進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，一旦選定了足夠多可用的電容器種類，仿真工具會(huì)提供一個(gè)參考的計(jì)算結(jié)果。該方法快速直接，但通常存在設(shè)計(jì)冗余，在PCB布局空間有限的情況下完全照搬該結(jié)果可能會(huì)不現(xiàn)實(shí)。表2也列出了Cadence工具的直接計(jì)算結(jié)果。

    可以看到，采用混合遺傳算法最終的設(shè)計(jì)結(jié)果比仿真工具的計(jì)算結(jié)果更加合理，而標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在經(jīng)過相同進(jìn)化代次后結(jié)果存在比較明顯的冗余，這也與其全局收斂性差有關(guān)。將上述幾種去耦網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖7所示。

    由仿真結(jié)果可知，在1 kHz~500 MHz的頻率范圍內(nèi)上述結(jié)果均滿足目標(biāo)阻抗要求，但采用混合遺傳算法（圖中實(shí)曲線）相比另外兩種結(jié)果的設(shè)計(jì)冗余較小，減少了所需元器件數(shù)目，在PCB布局空間有限的情況下可以提供有效參考。

4 結(jié)論

    本文結(jié)合基于目標(biāo)阻抗的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，采用混合遺傳算法研究去耦電容網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。結(jié)合Cadence仿真工具對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果與其他方法進(jìn)行了對(duì)比分析，仿真結(jié)果表明該方法所設(shè)計(jì)的去耦網(wǎng)絡(luò)有效、可行，避免了實(shí)際應(yīng)用需要反復(fù)進(jìn)行人工優(yōu)化的繁瑣過程，與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法以及Cadence工具的計(jì)算結(jié)果相比減少了設(shè)計(jì)冗余，節(jié)省了PCB布局布線空間，為高頻電路的PDN設(shè)計(jì)提供參考。另外也可以采用其他改進(jìn)算法進(jìn)行更多嘗試，獲得更好的優(yōu)化效果。

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