0 引言

    四旋翼飛行器是一種常見的特定配置的垂直起降微型飛行器，它具有體積小、靈活性高、機動性強和結(jié)構(gòu)簡單操作方便等優(yōu)點，具有廣闊的應(yīng)用前景^[1]。它是四輸入六輸出的典型欠驅(qū)動、強耦合的非線性系統(tǒng)，理論研究表明，用非線性的控制器實現(xiàn)四旋翼飛行器具有良好的控制效果。由于物理機體和數(shù)學(xué)模型之間的差異，常用PID控制器作為飛行器的控制系統(tǒng)^[2]。然而在實際應(yīng)用中，被控對象自身的非線性、延遲性和滯后性等原因，PID控制器參數(shù)的整定非常困難。參數(shù)設(shè)置的不理想不但會影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且會無法完成預(yù)期效果，甚至引發(fā)工業(yè)事故，因此PID控制參數(shù)自整定對控制系統(tǒng)具有重要作用。

    按照發(fā)展階段，自整定分為常規(guī)自整定和智能自整定兩類，常規(guī)PID參數(shù)自整定按其工作機理分為兩種：基于規(guī)則的自整定方法和基于模式辨識的自整定方法^[3]。

    基于規(guī)則的自整定方法在參數(shù)整定及控制過程方面不需要特定經(jīng)驗，還可以將過程特性和干擾特性區(qū)分開，但是需要技術(shù)人員對每一個回路和控制參數(shù)都有深入和全面的了解。對于控制系統(tǒng)，要求明確哪個控制參數(shù)需要調(diào)節(jié)，但是需要調(diào)節(jié)的控制參數(shù)不容易確定。

    基于模式辨識自整定的方法簡單、直觀、易實現(xiàn)，但是在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，因其非線性、動態(tài)性、系統(tǒng)的噪聲和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性等特點，該方法并沒有取得預(yù)期的結(jié)果，而且該方法工作量比較大。

    隨著科技發(fā)展，智能參數(shù)自整定相繼出現(xiàn)。其中模糊推理整定^[4]不需要精確的數(shù)學(xué)模型，具有較強的魯棒性，但是它依賴于確定的PID參數(shù)，屬于一種局部尋優(yōu)算法；遺傳算法降低了設(shè)計難度，具有良好的魯棒性和全局性，但其存在收斂性、局部搜索能力差等問題。本文是在智能PID控制的基礎(chǔ)上，提出結(jié)合共軛梯度算法對數(shù)字PID控制參數(shù)進行自整定，將控制性能指標(biāo)的最小方差和控制率相結(jié)合，根據(jù)梯度算法迭代出被控系統(tǒng)不斷變化的參數(shù)，使PID控制器的效率得以提升，提高了系統(tǒng)的魯棒特性、可靠性和準(zhǔn)確性。

1 四旋翼飛行器建模

    四旋翼飛行器是固定在一個十字交叉的結(jié)構(gòu)上，由4個電機驅(qū)動螺旋槳的轉(zhuǎn)動，并且通過螺旋槳速度的改變來改變飛行器的姿態(tài)^[5]。其工作原理圖如圖1所示。

    四旋翼飛行器在全局坐標(biāo)系下沿X、Y、Z軸的線位移運動方程為：

    根據(jù)力矩平衡原理，四旋翼飛行器在全局坐標(biāo)系X、Y、Z方向的角位移方程為：

其中，l是四旋翼飛行器重心到螺旋槳的距離，k_i(i=4，5，6)是四旋翼飛行器在角位移運動是的空氣阻力系數(shù)，I是每個軸上的轉(zhuǎn)動慣量M是每個螺旋槳產(chǎn)生的扭動力矩^[6]。

    假定U_i(i=1，2，3，4)為四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的輸入量，在實驗階段，四旋翼飛行器處于低速飛行的狀態(tài)，忽略空氣阻力^[7]，將式(1)和式(2)化簡得出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

    四旋翼飛行器是用PID控制器作為控制系統(tǒng)，其控制系統(tǒng)模型如圖2所示。

    由圖2知四旋翼飛行器的飛行姿態(tài)是由PID控制器通過調(diào)節(jié)4個電機的轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)，為了增強四旋翼飛行器飛行姿態(tài)的穩(wěn)定性和可靠性，對PID控制器進行優(yōu)化是必要的。為此提出了共軛梯度算法對PID控制參數(shù)的自整定，從而使控制系統(tǒng)輸出達到最優(yōu)。

2 共軛梯度算法對PID參數(shù)的整定

    在四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)PID控制系統(tǒng)的輸出u(k)和整個系統(tǒng)的輸出y(k)組成數(shù)據(jù)序列，在設(shè)計過程中引入?yún)?shù)γ，通過對γ不斷進行迭代估計，得出k時刻的參數(shù)估計值利用最小方差控制率計算出并以此改善調(diào)節(jié)器的參數(shù)，調(diào)節(jié)器在新參數(shù)條件下對過程進行控制。通過不斷對參數(shù)的迭代估計，直到其收斂到真值，即調(diào)節(jié)器對過程的控制達到最小方差控制時，參數(shù)就能夠使控制過程達到最優(yōu)。

    根據(jù)位置式PID控制器^[8]得到：

    由式(4)遞推出增量式PID控制^[9]的公式：

    然后引入共軛梯度算法，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

其中，y₀為理想值，y(k-j)為(k-j)時刻的輸出值，γ是含控制參數(shù)k_p、T_i、T_d的向量。

    在優(yōu)化值附近可將式(6)簡化為：

    利用梯度算法求解γ的最優(yōu)估計，則迭代公式為：

    不同的PID控制器對應(yīng)著不同的γ，因此設(shè)定系統(tǒng)的輸出為：

3 仿真分析

    將共軛梯度算法對PID參數(shù)的自整定和四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，在以NI-myrio為控制核心的四旋翼飛行器上利用LabVIEW編程進行仿真，通過MPU6050采集四旋翼飛行器俯仰角、橫滾角、偏航角的數(shù)據(jù)，利用普通PID控制采集的數(shù)據(jù)與其對比。以橫滾角偏移13°的時刻恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)和在平穩(wěn)狀態(tài)的穩(wěn)定性為例，采集兩種算法在相同條件、不同時刻下的波形圖驗證該算法的有效性，其波形如圖3所示。圖3中：曲線1表示四旋翼飛行器橫滾角在共軛梯度算法下PID控制的仿真曲線；曲線2表示四旋翼飛行器橫滾角在普通PID控制下的仿真曲線。

    圖中分別采集了共軛梯度算法的PID控制和普通PID控制的四旋翼飛行器橫滾角在0～224 ms、21～245 ms、30～257 ms時刻的仿真結(jié)果。由圖3(a)得到，四旋翼飛行器橫滾角從13°恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)，普通PID控制所需時間約為47.2 ms，共軛梯度算法的PID控制所需時間為23.6 ms，通過對比，共軛梯度算法的PID控制對四旋翼飛行器的橫滾角恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)所需時間時間較短，且提高的效率為：

    由圖3(b)、圖3(c)可知，普通PID控制的飛行器恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)后依然有較大抖動，其穩(wěn)定性較差，而共軛梯度算法的PID控制在四旋翼飛行器橫滾角恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)后比較穩(wěn)定，其魯棒性增強，誤差較小。

    通過圖3(c)看出，普通PID控制的飛行器平穩(wěn)狀態(tài)存在0.5°的偏差，而共軛梯度算法的PID控制實現(xiàn)了飛行器無偏移的平穩(wěn)狀態(tài)，提高了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和可靠性。

    該算法已成功應(yīng)用在四旋翼飛行器，在實際飛行中已達到良好的控制飛行效果，其仿真飛行如圖4所示。

4 結(jié)論

    本文采用共軛梯度算法對數(shù)字PID控制的參數(shù)進行自整定，將控制性能指標(biāo)的最小方差和控制率相結(jié)合，根據(jù)梯度算法迭代計算出被控系統(tǒng)特性不斷變化的控制參數(shù)，在NI-myrio為核心控制的四旋翼飛行器上通過LabVIEW實現(xiàn)了仿真。經(jīng)實驗證明，從飛行的某一狀態(tài)恢復(fù)到穩(wěn)定的時間明顯縮短，速率明顯提高，穩(wěn)定性較好，波動較小，取得了較為理想的效果。該方法只是完成了PID自整定的基本整定功能，還有許多功能，如增加對多點的自整定功能、考慮實際應(yīng)用環(huán)境的多樣性等需進一步做實驗驗證。

參考文獻

[1] 姜成平.一種四旋翼無人機控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2014.

[2] BOUABDALLAH S，NOTH A，SIEGWART R.PID vs LQ control techniques applied to an indoor micro quadrotor [C].IEEE，2004：2451-2456.

[3] 周偉.PID參數(shù)自整定的研究與應(yīng)用[D].武漢：華中科技大學(xué)，2011. 

[4] 邊麗華.PID控制器參數(shù)自整定方法的研究與實現(xiàn)[D].大連：大連理工大學(xué)，2009.

[5] Tao Jili，Lu Wuyi，Xiong Hongyun.The self-tuning of PID parameters based on advanced genetic algorithm[J].Industrial Instrumentation & Automation，2004(2).

[6] 尚昱星.光電式動態(tài)扭矩測量系統(tǒng)的研究與設(shè)計[D].秦皇島：燕山大學(xué)，2009.

[7] MADANI T，BENALLEGUE A.Backstepping control for a quadrotor helicopter[C].IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems，2006：3255-3260.

[8] 段國強.四旋翼無人直升機仿真及控制方法比較研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

[9] 宿敬亞，樊鵬輝，蔡開元.四旋翼飛行器的非線性PID姿態(tài)控制[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2011(9)：1054-1058.

作者信息:

李  航，王耀力

(太原理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，山西 太原030024)