0 引言

    近年來(lái)，隨著信息交互和數(shù)據(jù)共享的不斷增加，社交網(wǎng)絡(luò)的數(shù)量顯著提高。在分析此類網(wǎng)絡(luò)時(shí)，圖論提供了一個(gè)重要的建模模型。當(dāng)節(jié)點(diǎn)代表用戶，邊表示互聯(lián)時(shí)，可以將此類網(wǎng)絡(luò)定義為一張圖^[1-3]，該圖中的節(jié)點(diǎn)可以是直接或間接相連的。在分析社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)時(shí)，定義和計(jì)算社區(qū)是最關(guān)鍵的步驟。同時(shí),社區(qū)可以被看作是對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的概要表示(Summarization)，因此,在社區(qū)檢測(cè)中需要使用這種概要設(shè)計(jì)理念^[4]。

    當(dāng)前對(duì)于社區(qū)網(wǎng)絡(luò)劃分研究已取得了很多研究成果，特別是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析，但其仍然是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性和吸引力的研究。因?yàn)樵诮o定的圖中進(jìn)行社區(qū)檢測(cè)，可以用于搜索潛在的合作者，用于優(yōu)化社會(huì)關(guān)系，或在不同的社區(qū)中搜索一個(gè)關(guān)鍵人物等^[5]。

    基于圖論的原理，已經(jīng)提出了不少方法用來(lái)解決社區(qū)檢測(cè)的問(wèn)題，如譜分析方法^[6]，其代表了一種非常特殊的社區(qū)檢測(cè)技術(shù)。這種方法的特殊性表現(xiàn)在其分類性能上，并以拉普拉斯矩陣的特征向量為基礎(chǔ)。使用這樣一個(gè)矩陣在時(shí)間和內(nèi)存方面需要付出很高的代價(jià)。此外，在時(shí)間復(fù)雜度上，k個(gè)特征向量的計(jì)算復(fù)雜度為O(n³)。雖然，很容易計(jì)算出給定矩陣的特征向量，但是不方便計(jì)算大型拉普拉斯矩陣。這個(gè)方法的第二個(gè)缺點(diǎn)是假設(shè)社區(qū)的數(shù)量必須是已知的，但是在實(shí)際的大型社交網(wǎng)絡(luò)中很難獲得這一信息。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于聚類概念的社區(qū)檢測(cè)方法。這種技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是它能夠提供豐富的結(jié)果，使用這種方法發(fā)現(xiàn)的社區(qū)節(jié)點(diǎn)之間相互連接非常緊密。然而，在時(shí)間和內(nèi)存方面代價(jià)很高，而且非常復(fù)雜。BASUCHOWDHURI P等人^[8]提出了一種基于最大生成樹(shù)的并發(fā)方法。該方法使用共同鄰居的相似性作為邊的權(quán)重。將每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與鄰居相連接，共享了大量的共同鄰居，從而建造了最大生成樹(shù)。與文獻(xiàn)[7]的方法相比較，這種方法在占用內(nèi)存方面效果較好，但是其時(shí)間運(yùn)行成本還是較高。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于節(jié)點(diǎn)和邊的檢測(cè)社區(qū)方法，可廣泛用于查找網(wǎng)橋和服務(wù)供應(yīng)商。但是，對(duì)于大型的社交網(wǎng)絡(luò)而言，這些方法的適用性均較差。

    在以上文獻(xiàn)提出的方法中，運(yùn)行時(shí)間的復(fù)雜度和內(nèi)存的使用成本問(wèn)題仍然存在。因此，它們的適用性具有一定的局限。為了解決這些問(wèn)題，本文提出了一種有效的社區(qū)檢測(cè)算法方法，該方法基于聚類系數(shù)和共同鄰居指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集中提出的方法提供了較高質(zhì)量的社區(qū)劃分結(jié)果，并具備線性運(yùn)行時(shí)間的復(fù)雜度特性。

1 模型和指標(biāo)定義

1.1 問(wèn)題描述

    在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型中，一張圖G由有限集合(V，E)構(gòu)成，其中V表示節(jié)點(diǎn)集合(網(wǎng)絡(luò)的用戶)，E表示邊或節(jié)點(diǎn)之間相互聯(lián)系的集合，V={v_i|i=1，…，n}，E={e_ij|v_i，v_j∈V}，n=|V|為節(jié)點(diǎn)總數(shù)，m=|E|為邊的總數(shù)。此外，當(dāng)圖G′中節(jié)點(diǎn)的集合E′和邊的集合V′都是圖G中V和E的子集時(shí)，G′表示G的子圖。社交網(wǎng)絡(luò)可以建模為一個(gè)有向圖或一個(gè)無(wú)向圖，其中節(jié)點(diǎn)表示個(gè)體，邊表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。本文重點(diǎn)是在社交網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行社區(qū)檢測(cè)，它可以用一個(gè)無(wú)向圖來(lái)表示。這個(gè)社區(qū)可以被定義為節(jié)點(diǎn)的一個(gè)子集，與網(wǎng)絡(luò)的其他節(jié)點(diǎn)相比較，這些節(jié)點(diǎn)更有可能連接在一起。圖1顯示了一張具有3個(gè)社區(qū)的信息圖。

1.2 采用的度量標(biāo)準(zhǔn)

    本文采用共同鄰居的相似性來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)的相似度，這意味著，當(dāng)此度量指標(biāo)較高時(shí)，節(jié)點(diǎn)更有可能是在同一個(gè)社區(qū)內(nèi)。相比應(yīng)用平均聚類系數(shù)來(lái)衡量集群的方法，本文提出的結(jié)果準(zhǔn)確性更高。本文采用了兩種度量標(biāo)準(zhǔn)：

    (1)共同鄰居的相似性：在參考文獻(xiàn)[8]和[10]中使用共同的鄰居來(lái)定義節(jié)點(diǎn)之間的相似性。如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有大量的共同鄰居，那么它們更相似。這個(gè)指標(biāo)由以下公式進(jìn)行計(jì)算。

式中，A表示鄰居相似性。

    (2)聚類系數(shù)：采用此類度量標(biāo)準(zhǔn)的目的是評(píng)估節(jié)點(diǎn)在一個(gè)集群中的集群化趨勢(shì)。其中最受歡迎的一個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)是模塊性最大化，但是它存在兩個(gè)問(wèn)題：①它合并小型子圖，當(dāng)分辨率較低時(shí)，它占主導(dǎo)地位；②它分裂大型子圖，當(dāng)分辨率較高時(shí)，它占主導(dǎo)地位。另一種被廣泛使用的度量稱為聚類系數(shù)^[10-11]，在一個(gè)社區(qū)內(nèi)提供了一個(gè)強(qiáng)大的鄰居結(jié)構(gòu)。這項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)被廣泛應(yīng)用于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析中，它被定義為封閉的三聯(lián)體(三角形)數(shù)量和給定圖的三聯(lián)體數(shù)量之間的比率，式(2)給出了其定義^[2]：

式中，C表示聚類系數(shù)。

2 提出的權(quán)重系數(shù)

    本研究的目的是研究社區(qū)之間的邊所存在的一些性質(zhì)，最后提取新的社區(qū)。

    引理1：假設(shè)G是一張無(wú)向非加權(quán)圖，E表示G的邊集合，V表示G的節(jié)點(diǎn)集合，得到如下公式：

其中，L表示節(jié)點(diǎn)vi鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量。

    論證：假設(shè)G為一張圖，僅僅包含一個(gè)三角形T，本文假設(shè)它由3個(gè)節(jié)點(diǎn)組成(v₁，v₂，v₃)。

    如果計(jì)算L(v₁)，則發(fā)現(xiàn)一對(duì)關(guān)聯(lián)(v₂和v₃)；如果計(jì)算v₂的這一度量，則發(fā)現(xiàn)v₁和v₃之間的關(guān)聯(lián)；最后計(jì)算v₃，得到了v₁和v₂之間的關(guān)聯(lián)。之后，如果計(jì)算總和L(v₁)+L(v₂)+L(v₃)，那么得到的結(jié)果是3對(duì)關(guān)聯(lián)?？傊?，當(dāng)本文計(jì)算一張圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量時(shí)，對(duì)同一個(gè)三角形計(jì)算了3次。

    圖2闡釋了一張無(wú)向圖，由7個(gè)節(jié)點(diǎn)和10條邊構(gòu)成。該圖由3個(gè)三角形組成。當(dāng)本文計(jì)算這7個(gè)節(jié)點(diǎn)鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量總和時(shí)，得到表1所示結(jié)果。

    根據(jù)這些結(jié)果，3個(gè)三角形共計(jì)算了3次，這意味著3×(在G₁中的三角形數(shù)量)等于在G₁中每個(gè)節(jié)點(diǎn)鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量總和。

    性質(zhì)1：運(yùn)用式(1)，本文可以得出結(jié)論：兩個(gè)社區(qū)之間的一條邊的節(jié)點(diǎn)是不同的。它們沒(méi)有或僅有少數(shù)幾個(gè)共同的鄰居。

    性質(zhì)2：本文研究的重點(diǎn)在于在社區(qū)內(nèi)最大化聚類系數(shù)(式(2))。為了達(dá)到這一目標(biāo)，三角形的數(shù)量以及式(4)中的度量必須盡可能地最大化。實(shí)際上，在一個(gè)社區(qū)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量必須最大化。這意味著對(duì)于具有較高聚類系數(shù)(大量三角形)的兩個(gè)社區(qū)之間的節(jié)點(diǎn)，其鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量較大。

    引理2：假設(shè)G是一張無(wú)向非加權(quán)的圖。在兩個(gè)社區(qū)之間一條邊e(v_i，v_j)的節(jié)點(diǎn)沒(méi)有或有幾個(gè)共同鄰居，節(jié)點(diǎn)v_i和v_j具有較高的度量L。

    論據(jù)：通過(guò)使用性質(zhì)1和性質(zhì)2獲得引理2。

    本文將節(jié)點(diǎn)鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)化。由以下方程來(lái)定義標(biāo)準(zhǔn)化：

式中，B表示的是節(jié)點(diǎn)鄰居關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)。

    通過(guò)式(1)可知節(jié)點(diǎn)之間共同鄰居的數(shù)量。從引理2可以得知，本文的目標(biāo)是找到這些邊e(v_i，v_j)，它們?cè)卩従觟和j之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量較大(見(jiàn)式(5))，而在i和j之間的共同鄰居數(shù)量較少(見(jiàn)式(1))。因此，以這些邊為基礎(chǔ)，所提方法的目標(biāo)是找到度量W，W可以由如下公式定義：

3 本文提出的方法

    在過(guò)去的幾年中，在社交網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行社區(qū)檢測(cè)已經(jīng)吸引了很多研究人員，但它仍是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。事實(shí)上，大多數(shù)現(xiàn)有方法的適用性受限于它們的計(jì)算成本。本文提出的方法通過(guò)刪除在未加權(quán)圖中的社區(qū)之間的邊，從社交網(wǎng)絡(luò)中找到社區(qū)。本文假設(shè)一個(gè)社區(qū)必須至少有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，如參考文獻(xiàn)[2]所使用的社區(qū)。刪除邊是為了最小化每條邊節(jié)點(diǎn)之間的共同鄰居數(shù)量(少于共同鄰居的20%)，并且提高社區(qū)劃分的質(zhì)量。下面介紹算法步驟和實(shí)例分析。

3.1 算法描述

    本文提出的方法使用了以下步驟：

    輸入：無(wú)向非加權(quán)的網(wǎng)絡(luò)G(V，E)

    輸出：n個(gè)社區(qū)，G_s={G_s1，G_s2，…，G_sn}

    (1)首先，本文計(jì)算在圖G中每個(gè)節(jié)點(diǎn)鄰居之間的關(guān)聯(lián)數(shù)量L(v_i)。然后，本文計(jì)算每條邊e共同聚類數(shù)量C，以及這條邊的節(jié)點(diǎn)之間鄰居U的結(jié)合情況。之后，設(shè)L=L(v_i)+L(v_j)和S=|鄰居(v_i)+鄰居(v_j)|，其中v_i、v_j表示由邊e相連的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。

    (2)本文使用W在表格T中以遞減順序?qū)呥M(jìn)行分類。一旦這個(gè)操作完成，就按照在T中的順序找到第一條邊e(v_i，v_j)。如果在刪除這條邊之后，v_i鄰居的數(shù)量和v_j鄰居的數(shù)量均會(huì)超過(guò)0，那么將這條邊從G中刪除，否則不刪除。本文需要對(duì)T中的其他邊重復(fù)測(cè)試，直到表格T是空為止。

    (3)本文應(yīng)用了一個(gè)社區(qū)必須至少包含4個(gè)節(jié)點(diǎn)的假設(shè)。為了確保該假設(shè)成立，需要把每張少于4個(gè)節(jié)點(diǎn)的子圖G′加入到在步驟(2)中已經(jīng)被分離的最后一張子圖中。

3.2 實(shí)例分析

    設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)N1結(jié)構(gòu)如圖3所示，圖4體現(xiàn)了提出的方法應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)N₁的結(jié)果。首先，運(yùn)用步驟(1)在未加權(quán)的圖中計(jì)算每條邊的W值。然后，本文選擇符合以下條件的邊e(v_i，v_j)：在節(jié)點(diǎn)v_i和v_j之間共同鄰居的數(shù)量較低(少于20%)。

    本文運(yùn)用W值對(duì)這些邊進(jìn)行分類，按照遞減順序?qū)⑦@些邊儲(chǔ)存在表格T中。重復(fù)步驟(2)中邊的刪除操作，直到為空白為止。注意，大小小于2的群組不可以被分為獨(dú)立的群組。

    最后，本文將少于4個(gè)節(jié)點(diǎn)的每張子圖G′加入到已經(jīng)被分離的最后一張子圖中。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

    為了驗(yàn)證本算法的有效性，采用真實(shí)的較大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，并與生成樹(shù)算法^[8]、CBCD算法^[12]進(jìn)行比較分析。

    實(shí)驗(yàn)環(huán)境中服務(wù)器設(shè)備參數(shù)為：Xeon E7-4820雙核處理器，2.5 GHz CPU頻率，16 GB內(nèi)存，Windows Server 2012系統(tǒng)。本文在核心圖社區(qū)檢測(cè)時(shí)采用GN算法(Girvan-Newman)。

    本文采用模塊性Q函數(shù)^[13]來(lái)評(píng)價(jià)劃分出的模塊性，采用NMI^[13]來(lái)評(píng)價(jià)劃分結(jié)果的相似性，兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)值越接近1，說(shuō)明算法劃分的效果和質(zhì)量越高。實(shí)驗(yàn)采用的4個(gè)較大社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集的具體參數(shù)如表2所示。

4.1 結(jié)果分析

    采用生成樹(shù)算法、CBCD算法和本文提出算法在以上4個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集上分別進(jìn)行了100次運(yùn)行測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均指標(biāo)數(shù)據(jù)如表3所示。

    通過(guò)表3可以看出，在Q函數(shù)指標(biāo)結(jié)果上，本文提出算法比其他兩種算法都表現(xiàn)更好，即社會(huì)發(fā)現(xiàn)更有效，更好地體現(xiàn)了社區(qū)結(jié)構(gòu)的劃分。在NMI指標(biāo)結(jié)果上，相比其他兩種算法，本文算法的數(shù)值更接近于1，即劃分結(jié)果和真實(shí)的劃分更相似。

    從表4中可以看出，本文算法在4個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集上的運(yùn)行時(shí)間均比其他兩種算法少，即相比其他兩種算法，本算法具有更高的效率。

4.2 復(fù)雜度分析

    該方法不是對(duì)所有的邊進(jìn)行分類，而僅僅對(duì)共同鄰居少于20%的邊進(jìn)行分類。例如，在Ca-CondMat網(wǎng)絡(luò)中，包含186 936條邊，本文僅僅對(duì)其中的67 297條邊進(jìn)行分類。同樣，本文在Cit-HepTh網(wǎng)絡(luò)中僅僅對(duì)352 807條邊中的176 403條邊進(jìn)行分類。

    在步驟(2)中，本文對(duì)一部分共同鄰居少于20%的邊進(jìn)行分類。如果本文假設(shè)這些邊的數(shù)量為k，那么復(fù)雜度為O(k·log(k))，即具有線性復(fù)雜度。在本算法的實(shí)施過(guò)程中，運(yùn)用了python 3.3分類算法。如果假設(shè)在步驟(3)的操作之后發(fā)現(xiàn)子圖的數(shù)量為c，由少于4個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的子圖數(shù)量為c₁，那么復(fù)雜度為O(c₁·log²(c))。因?yàn)镺(c₁·log²(c))<<O(N)，根據(jù)所選擇的網(wǎng)絡(luò)，本文得到出算法的復(fù)雜度取決于O(k·log(k))。因此，本文提出的算法具有線性復(fù)雜度，即使在運(yùn)行時(shí)間最壞的情況下，復(fù)雜度為O(k·log(k))。

5 結(jié)束語(yǔ)

    本文提出了一種適用于社交網(wǎng)絡(luò)的新型社區(qū)檢測(cè)新方法。該方法使用了兩個(gè)最重要的度量來(lái)定義社區(qū)：(1)聚類系數(shù)，用于定義社區(qū)的質(zhì)量；(2)屬于同一條邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)共同鄰居的數(shù)量。實(shí)際上，與在不同社區(qū)中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相比，在同一個(gè)社區(qū)中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)具有的共同鄰居數(shù)量較高。基于這些度量，本文推導(dǎo)出一個(gè)公式，允許在社區(qū)之間查找邊。在這個(gè)迭代的算法中，運(yùn)用一些查找社區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)刪除邊。最后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的算法相比，本文提出的方法提供的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集合劃分不但模塊性高，NMI指標(biāo)和運(yùn)行效率也非常高。此外，該方法的運(yùn)行時(shí)間具有線性復(fù)雜度，由此可以應(yīng)用于大型的社交網(wǎng)絡(luò)中。

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