1 FIR濾波器的基本原理

　　一個(gè)L階的FIR數(shù)字濾波器的基本系統(tǒng)函數(shù)見(jiàn)式(1)：

　　式中：h(n)表示濾波器的系數(shù)；x(i)表示帶有時(shí)間延遲的輸入序列，此表達(dá)式對(duì)應(yīng)的直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)可用圖1來(lái)表示。

　　可以看出，F(xiàn)IR濾波器是由一個(gè)“抽頭延遲線(xiàn)”加法器和乘法器的集合構(gòu)成的。傳給每個(gè)乘法器的操作數(shù)就是一個(gè)FIR系數(shù)。對(duì)每次采樣x(n)要進(jìn)行N次連續(xù)的乘法和(N-1)次加法操作，因?qū)嶋H中濾波器的階數(shù)都很高，實(shí)現(xiàn)高數(shù)據(jù)吞吐率就需要很多的硬件乘法器，硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)將占用大量的資源，同時(shí)也會(huì)因此影響濾波器的速度和性能。為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們從多個(gè)角度尋求優(yōu)化方法。從數(shù)字濾波器表達(dá)式看，對(duì)它

　　的優(yōu)化操作，實(shí)際最終轉(zhuǎn)換成兩類(lèi)改進(jìn)。一類(lèi)是針對(duì)輸入xi的DA操作的改進(jìn)；另一類(lèi)是針對(duì)系數(shù)hi編碼的操作。

　　2 DA算法

　　分布式算法(Distributed Arithmetic，DA)是為了解決乘法資源問(wèn)題而提出的經(jīng)典優(yōu)化算法這種算法結(jié)構(gòu)，可以有效地將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成基于查找表LUT(Look Up Table)的加法運(yùn)算，利用查表方法快速得到部分積。

　　對(duì)于低階而言，由于LUT表地址空間較小，與傳統(tǒng)算法相比，分布式算法可極大地減少硬件電路的規(guī)模，提高電路的執(zhí)行速度。然而當(dāng)FIR濾波器階數(shù)很高時(shí)，作為查找表的ROM將很大。階數(shù)每增加1位，ROM容量就增加1倍，這種以2的冪次遞增的資源占用是硬件資源不可接受的。因而在濾波器系數(shù)較高時(shí)，為了減小查找表的規(guī)模，常采用一定的方法將大LUT分割為一些小的LUT的方法。如濾波器的多相分解結(jié)構(gòu)、多路復(fù)用器和加法器替代查找表的算法等。

　　3 CSD編碼算法

　　常數(shù)乘法可以通過(guò)“移位-加”來(lái)完成，而乘數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)決定了“加”操作的次數(shù)，當(dāng)然“1”的個(gè)數(shù)越少越好，正則有符號(hào)數(shù)字量CSD(Canonic Signed Digit)編碼就可以實(shí)現(xiàn)“1”的個(gè)數(shù)的最小化。

　　3．1 CSD編碼

　　與傳統(tǒng)的二進(jìn)制編碼的二值表示法不同，CSD編碼的數(shù)字值域?yàn)?，1和-1。-1常表示成1。這種編碼是具有最少非零元素的一種表示法，用CSD編碼表示數(shù)字的形式具有惟一性。在實(shí)際硬件電路中可以采用如下原則生成最佳CSD編碼：

　?、?gòu)淖畹陀行婚_(kāi)始，用10…0取代所有大于2的1序列，此外還需要用110取代1011；

　?、趶淖罡哂行婚_(kāi)始，用011代替10。

　　最佳CSD編碼的特點(diǎn)是：

　?、僭谝粋€(gè)CSD數(shù)據(jù)里，沒(méi)有兩個(gè)連續(xù)的非零位；

　?、趯?duì)同一個(gè)數(shù)字的CSD編碼是獨(dú)一無(wú)二的；

　　基于CSD編碼，可以將式(1)做以下的變化：

　　從以上式子可看出，應(yīng)用CSD表示法，由于可以降低系數(shù)中非零元素的數(shù)量，因而在運(yùn)算中能減少加法的次數(shù)，有利于提高運(yùn)算速度和減少資源的占用。

　　3．2 最佳CSD編碼設(shè)計(jì)與結(jié)果

　　根據(jù)前面所列舉的最佳CSD編碼方法，用C語(yǔ)言生成最佳CSD編碼，部分偽代碼如下：

　?、凼菙?shù)字表示法里，所含非零位數(shù)最少，相比于二進(jìn)制補(bǔ)碼系統(tǒng)平均減少33％的非零項(xiàng)。

　　測(cè)試實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果如圖2所示。在本C語(yǔ)言程序中用X來(lái)指代碼，輸入數(shù)據(jù)為16位。

　　4 實(shí)例設(shè)計(jì)過(guò)程與仿真

　　4．1 FIR系數(shù)提取

　　利用Matlab中Fdatlool設(shè)計(jì)一個(gè)16階低通FIR濾波器，各項(xiàng)性能指標(biāo)為：采用頻率fs=48 kHz，截止頻率fstop=12 kHz，通帶寬度f(wàn)pass=9．6 kHz。系數(shù)數(shù)據(jù)寬度為16位；輸出數(shù)據(jù)寬度是16位。為了便于FIR濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)，減小誤差，將Fdatlool提取的濾波器的系數(shù)量化取整后為：

　　4．2 系數(shù)的CSD轉(zhuǎn)換

　　讀入量化系數(shù)，進(jìn)行CSD轉(zhuǎn)換操作，生成CSD碼，表1是部分量化后的系數(shù)及對(duì)應(yīng)的CSD數(shù)。

　　4．3 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

　　采用轉(zhuǎn)置形式的FIR濾波器結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)不同的是，輸入信號(hào)X『n』是同時(shí)分別和濾波器系數(shù)向量相乘，不需要通過(guò)不同的延時(shí)單元再和相對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)相乘。這種結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)點(diǎn)是工作頻率較高，圖3給出了采用CSD編碼算法的設(shè)計(jì)流程圖。

　　4．4 FPGA實(shí)現(xiàn)與仿真

　　參照?qǐng)D3中給出的設(shè)計(jì)流程，使用VHDL語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了該常系數(shù)濾波器的行為描述，圖4是濾波器的實(shí)現(xiàn)頂層圖。FPGA采用AItera公司的EPF 10K40芯片，該芯片最高的單路運(yùn)行速率為200 MHz。圖5是在MaxPIusⅡ中的仿真結(jié)果。表2給出了EPF10K40的一些資源占用情況。

　　5 基于FPGA的FIR試驗(yàn)結(jié)果

　　為驗(yàn)證本文提出的算法的普遍性，以并行DA和2C編碼方式設(shè)計(jì)了一系列階數(shù)從16到256階的FIR濾波器，濾波器在A(yíng)ltera公司的開(kāi)發(fā)軟件MaxPlusⅡ中進(jìn)行編譯和布局布線(xiàn)，采用的目標(biāo)器件為EPF10K40芯片，在系統(tǒng)中對(duì)3種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試數(shù)據(jù)位寬為8位。通過(guò)表3的比較結(jié)果可以看出，使用CSD編碼，資源耗用明顯下降。當(dāng)FIR階數(shù)很高，系數(shù)很復(fù)雜時(shí)，CSD編碼的優(yōu)勢(shì)會(huì)更加顯著。表4給出了N=64時(shí)DA算法和CSD算法的具體性能指標(biāo)，從結(jié)果來(lái)看，CSD編碼相對(duì)于單純的DA在系統(tǒng)資源和整個(gè)系統(tǒng)延遲上有明顯的提高。

　　6 結(jié)語(yǔ)

　　濾波器用VHDL硬件描述語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，采用Altera公司的EPF10K40芯片，在MaxPlusⅡ中進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。從結(jié)果來(lái)看，文中所提出的CSD編碼算法，具有一定的研究?jī)r(jià)值和實(shí)用價(jià)值，CSD編碼在處理序列較多的情況下，在資源占用、速度處理方面的效果尤為明顯。采用CSD編碼方式對(duì)FIR濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可減少FIR實(shí)現(xiàn)的FPGA資源消耗。