摘  要： 簡要介紹了小波分析基本理論中的小波變換和小波包變換，重點(diǎn)論述了小波分析在圖像降噪處理中的應(yīng)用及其算法流程。在此基礎(chǔ)上，利用Matlab R2007進(jìn)行了圖像去噪仿真測試，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，利用小波分析理論進(jìn)行圖像降噪處理，能夠取得較好的降噪效果。
關(guān)鍵詞： 小波分析；小波包分析；多分辨率分析；圖像降噪；Matlab

　由于各種隨機(jī)因素的影響，圖像在傳輸過程中經(jīng)常會產(chǎn)生噪聲，會對進(jìn)一步的邊緣檢測、圖像分割、特征提取和模式識別等處理帶來諸多不便，因此，采用適當(dāng)?shù)姆椒p少噪聲是一項(xiàng)非常重要的圖像預(yù)處理步驟。經(jīng)典的降噪算法有均值濾波、中值濾波、高斯濾波和維納濾波等[1]，但這些算法使圖像變換后的熵增高，細(xì)節(jié)部分丟失，不能揭示圖像信息的非平穩(wěn)特性，也無法得到圖像信息的相關(guān)性。
小波分析理論作為一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)分析工具，近年來廣受關(guān)注，其在圖像處理中的研究應(yīng)用也逐漸深入。小波變換特有的低熵性、去相關(guān)性使得小波在圖像降噪處理方面比經(jīng)典的降噪算法更具優(yōu)勢。本文對小波分析理論在圖像降噪方面進(jìn)行了深入研究，并利用Matlab R2007進(jìn)行圖像降噪仿真，通過仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證小波分析理論在圖像降噪處理方面的效果。
1 小波分析基本理論
　小波變換的基本思想是用一組函數(shù)序列表示或逼近待分析信號，與傳統(tǒng)的傅里葉分析相比，小波變換在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力，通過平移和伸縮能夠聚焦信號的任意細(xì)節(jié)并進(jìn)行時頻域處理，既可以看到信號的全貌，又可以分析信號的細(xì)節(jié)，并保留數(shù)據(jù)的瞬時特性，因此有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱。
1.1 小波變換
　小波變換的核心思想是多分辨率分析方法。在小波分解過程中，將待分析信號通過小波分解成兩部分，得到低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量，兩個連續(xù)的低頻系數(shù)之間損失的信息可以由高頻系數(shù)獲得，然后將低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解，而高頻系數(shù)保持不動。
對于圖像處理而言，采用多尺度二維小波分解方法，即二維多分辨率分析方法。每一次的分解結(jié)果包含低頻、高頻水平分量、高頻垂直分量、高頻對角分量四部分，下一層變換分解是在低頻部分進(jìn)行的，分解后的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示。其中，A是低頻系數(shù)，用于下一層的分解，H是高頻水平方向系數(shù)，V是高頻垂直方向系數(shù)，D是高頻對角線方向系數(shù)。

1.2 小波包變換
　給定正交小波函數(shù)，可以生成一組小波包基，每個基都提供了一種特定的信號編碼方法，它能保留信號的全部能量，并對信號的特征進(jìn)行準(zhǔn)確的重構(gòu)，這些小波包可以用于對給定信號進(jìn)行多種分析和解釋。
正交小波分解過程是將低頻系數(shù)分為新的低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量兩部分，然后將新的低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解，而高頻系數(shù)保持不動。而對于小波包分解來說，每個高頻系數(shù)向量也使用和低頻系數(shù)分解同樣的方法，分成兩個部分，這樣就提供了更為豐富的信號分析方法：在一維分析中產(chǎn)生了完整二叉樹，而在二維分析中產(chǎn)生了四叉樹[2]，圖1(b)所示是二維小波包四叉樹示意圖。
小波包分析方法是多分辨率小波分析的推廣[2]，與小波分析相比，小波包可以對信號的高頻部分進(jìn)行更加細(xì)致的刻畫，具有更加精準(zhǔn)的局部分析能力，對信號的分析能力更強(qiáng)。
2 圖像的降噪處理
　圖像降噪在信號處理中是一個經(jīng)典問題，傳統(tǒng)的降噪方法多采用平均或線性方法(如維納濾波)進(jìn)行，但降噪效果不夠好。隨著小波理論的日益完善，它以自身良好的時頻特性在圖像降噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，開辟了用非線性方法降噪的先河[2]。
2.1 小波分析與圖像的降噪處理
　實(shí)際獲得的圖像一般都因受到某種干擾而含有噪聲。引起噪聲的原因有敏感元器件的內(nèi)部噪聲、傳輸通道的干擾及量化噪聲等。噪聲產(chǎn)生的原因決定了噪聲的分布特性及與圖像信號的關(guān)系[3]。對于圖像而言，信息主要分布在低頻區(qū)域，噪聲主要分布在高頻區(qū)域，而圖像細(xì)節(jié)也分布在高頻區(qū)域，傳統(tǒng)的低通濾波方法將圖像的高頻部分濾除，雖然能夠達(dá)到降噪的目的，但也破壞了圖像細(xì)節(jié)。利用小波理論可以構(gòu)造出一種既能降低圖像噪聲，又能夠保持圖像細(xì)節(jié)信息的方法。小波能夠降噪主要得益于小波變換的如下特點(diǎn)[2]：
　(1)低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低，也使信號和噪聲所在的頻帶得到了統(tǒng)計(jì)意義上的分離。
　(2)多分辨率特性。采用多分辨率的方法可以非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)性，如突變和斷點(diǎn)等。因此，可以在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲的分布去除噪聲。
　(3)去相關(guān)性。小波變換可對信號去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時域更利于去噪。
　(4)基函數(shù)選擇靈活。小波變換可以靈活選擇基函數(shù)，也可以根據(jù)信號特點(diǎn)和降噪要求選擇多帶小波、小波包等，對不同的場合，可以選擇不同的小波母函數(shù)。
2.2 算法流程
　小波在圖像處理上的應(yīng)用思路主要采用將空間或時間域上的圖像數(shù)據(jù)變換到小波域上，成為多層次的小波系數(shù)，根據(jù)小波基的特性，分析小波系數(shù)的特點(diǎn)，針對不同需求處理小波系數(shù)，再對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行逆變換，得到所需圖像。小波閾值降噪是實(shí)現(xiàn)簡單而且效果較好的降噪方法，可以通過二維的小波或小波包來實(shí)現(xiàn)。小波變換降噪算法流程如下：
　(1)選擇合適的小波和恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟?，對圖像進(jìn)行小波分解；
　(2)對分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化，對于分解的每一層，選擇一個恰當(dāng)?shù)拈撝担υ搶痈哳l系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化處理；
　(3)根據(jù)小波分解后的第N層近似(低頻系數(shù))和經(jīng)過閾值量化處理后的各層細(xì)節(jié)(高頻系數(shù))，計(jì)算圖像的小波重構(gòu)。
　上述算法流程中，最關(guān)鍵是選擇閾值及進(jìn)行閾值量化，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略及估計(jì)方法。常用閾值處理方法有3種：
　(1)默認(rèn)閾值消噪：用函數(shù)ddencmp生成默認(rèn)閾值，再用函數(shù)wdencmp進(jìn)行消噪處理。
　(2)給定閾值消噪：利用經(jīng)驗(yàn)公式給定閾值，這種閾值可信度比默認(rèn)閾值高，用函數(shù)wthresh進(jìn)行閾值量化處理。
　(3)強(qiáng)制閾值消噪：直接將小波分解后的高頻系數(shù)全部置零，即濾除所有的高頻部分，這種方法簡單，但容易失去圖像中的有用成分。
　圖像的小波包降噪和小波降噪算法思想基本相同，此處不再贅述。另外，在進(jìn)行小波包分解時可采用多種小波包基，通常根據(jù)分析圖像的要求選擇最優(yōu)基，最優(yōu)基可以通過函數(shù)besttree進(jìn)行選擇。
3 Matlab仿真與分析
　圖像一般是二維信號，需要采用二維小波工具進(jìn)行處理，本文用到的工具主要是二維小波變換和二維小波包變換。本文利用Matlab R2007對圖像sinsin進(jìn)行降噪處理測試，并對處理過程中發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行分析總結(jié)。
3.1 圖像降噪處理的Matlab實(shí)現(xiàn)
　本文利用Matlab對圖像sinsin進(jìn)行默認(rèn)的閾值降噪處理，原始圖像如圖2(a)所示。首先在原始圖像中加入噪聲，加入噪聲后的圖像如圖2(b)所示，再利用小波處理函數(shù)wdencmp進(jìn)行降噪處理。處理之前，利用函數(shù)ddencmp尋找處理參數(shù)，默認(rèn)的參數(shù)如下：
　thr=4.4174(thr為這全局閾值)；
　sorh=s(軟硬閾值選擇，s為軟閾值)；
　keepapp=1(是否對低頻系數(shù)進(jìn)行處理，1為否)。
　降噪過程中，小波分解使用小波‘sym4’，執(zhí)行到第二層。降噪處理后的圖像如圖2(c)所示。

　利用小波包的處理過程與上述過程類似，不同的是降噪函數(shù)選用的是小波包處理函數(shù)wpdencmp，默認(rèn)的處理參數(shù)如下：
　thr=4.968 5；
　sorh=h(硬閾值)；
　keepapp=1；
　crit=sure(熵名稱)。
　降噪過程中，小波包分解使用小波“sym4”，執(zhí)行到第3層。降噪處理后的圖像如圖2(d)所示。

3.3 結(jié)果分析
　使用閾值降噪處理不可避免會造成圖像細(xì)節(jié)小程度上的丟失，因此，在降噪過程中需要考慮降噪與所保留圖像細(xì)小變化之間的權(quán)衡問題。從圖2可以看到，對同一幅圖像，小波變換和小波包變換兩種方法都不同程度地降低了圖像質(zhì)量，但由于對高頻細(xì)節(jié)部分的處理不同，圖像平滑度上也呈現(xiàn)明顯的不同。
分析圖3、圖4可知，整個處理過程中，自適應(yīng)濾波對高斯噪聲的去除效果較好，而中值濾波對含有椒鹽噪聲的圖像處理效果明顯。利用小波變換和小波包變換，采用的閾值處理方法有軟、硬兩種。硬閾值處理可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象[4]，而軟閾值處理相對較平滑，處理得到的信號和原始信號具有同樣的光滑性[5]，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[4]。雖然自適應(yīng)濾波和中值濾波對高斯噪聲和椒鹽噪聲的去除各具優(yōu)勢，但對于含有多種噪聲的圖像而言，小波變換和小波包變換還是更勝一籌。
　在利用Matlab進(jìn)行默認(rèn)閾值處理的過程中，本文利用ddencmp函數(shù)尋找默認(rèn)的處理參數(shù)，在處理過程中，隨著所加噪聲強(qiáng)度的變化，小波變換尋找的默認(rèn)全局閾值也呈現(xiàn)出波動，而小波包變換的處理過程中則并非如此。另外需要說明的是，降低圖像的噪聲，對于保證圖像質(zhì)量，進(jìn)行圖像壓縮也是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。
圖像信息在現(xiàn)代生活中占據(jù)著舉足輕重的地位，隨著小波分析理論的不斷發(fā)展，其在圖像處理中的應(yīng)用越來越多。本文對小波分析理論進(jìn)行深入研究，將小波分析理論與圖像降噪處理相結(jié)合，利用Matlab R2007進(jìn)行圖像降噪處理仿真，并以數(shù)據(jù)、圖像等形式給出處理結(jié)果，通過對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，驗(yàn)證了用小波分析理論進(jìn)行圖像降噪處理能取得較好的效果。當(dāng)然，圖像降噪僅僅是小波分析理論在圖像處理應(yīng)用中很小的一部分，其在圖像的壓縮、增強(qiáng)、平滑、融合、視頻圖像分析等方面也具有更加廣泛而深刻的應(yīng)用價值。
參考文獻(xiàn)
[1] 劉婭，李春明，李棟.基于小波分析的圖像去噪處理[J].電腦開發(fā)與應(yīng)用，2009，22(9)：33-34.
[2] 葛哲學(xué)，沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實(shí)現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.
[3] 求是科技.Matlab7.0從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2006.
[4] 關(guān)履泰.小波方法與分析[M].北京：高等教育出版社，2007.
[5] 飛思科技.MATLAB 6.5輔助圖像處理[M].北京：電子工業(yè)出版，2003.