摘  要： 介紹了一種新的基于三維離散余弦變換的彩色圖像壓縮方法。該方法把彩色圖像看作是一種三維信號(hào)，通過三維離散余弦變換，不僅去除了圖像R、G、B分量?jī)?nèi)的相關(guān)性，同時(shí)能夠去除R、G、B分量之間的相關(guān)性，因此，在保留圖像質(zhì)量的同時(shí)，能夠達(dá)到更高的壓縮率。另外，該方法還具有簡(jiǎn)單、速度快等優(yōu)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)表明，這是一種好的壓縮方法。
關(guān)鍵詞： 離散余弦變換；圖像壓縮；彩色圖像；圖像處理

     隨著科技的發(fā)展以及人們對(duì)物質(zhì)精神文化的追求，信息已經(jīng)成為時(shí)代的重要特征,而圖像是人們傳遞信息的主要途徑之一。由于一幅沒有壓縮的圖像的數(shù)據(jù)原始量太大，給圖像的傳輸和存儲(chǔ)帶來很大的不便。因此,圖像壓縮算法成為圖像處理領(lǐng)域重要的課題,各種新穎、高效率的圖像壓縮算法層出不窮。

和R、G、B所決定的，因此，可以把每一個(gè)灰度值表示為f(x,y，u),其中x、y表示像素點(diǎn)的位置坐標(biāo)，u表示的是R分量、G分量還有B分量?？梢约s定，u=1時(shí)，表示的是R分量；u=2時(shí)，表示的是G分量；u=2時(shí)，表示的是B分量。這樣，就可以把一幅彩色圖像表示成為一個(gè)三維信號(hào)。
　    圖像壓縮是指在保證一定的圖像質(zhì)量的情況下，用盡可能少的數(shù)據(jù)來表示該圖像。能夠?qū)D像進(jìn)行壓縮的原因是圖像的原始數(shù)據(jù)當(dāng)中存在著信息冗余，去除或者減少這些冗余信息，就能夠用更少的數(shù)據(jù)來表示圖像，起到壓縮圖像的目的。
1 DCT變換和基于DCT變換的信號(hào)壓縮原理
1.1 一維DCT變換和二維DCT變換
    離散余弦變換(DCT)誕生于1974年,由AHMED和RAO首先給出了它的定義式。
    一維和二維DCT變換及其逆變換的定義式可參看參考文獻(xiàn)[1]和參考文獻(xiàn)[2]。一維DCT和二維DCT變換都有正變換及其對(duì)應(yīng)的逆變換。正變換把信號(hào)變換到頻域，然后由逆變換重構(gòu)信號(hào)。把信號(hào)變換到頻域，就可以利用頻域的一些特點(diǎn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，從而取得良好的效果。
1.2 DCT系數(shù)的聚集性和基于DCT變換信號(hào)壓縮原理     DCT變換具有K-L變換近似的良好性質(zhì)，信號(hào)經(jīng)過DCT變換后，能量具有集中性，表現(xiàn)在DCT變換后，數(shù)值大的系數(shù)會(huì)集中在特定的區(qū)域，這個(gè)性質(zhì)可以用來進(jìn)行信號(hào)壓縮。在進(jìn)行信號(hào)存儲(chǔ)或者信號(hào)傳輸時(shí)，僅僅存儲(chǔ)或者傳輸數(shù)值大的數(shù)據(jù)，省略數(shù)值小的數(shù)據(jù)，從而起到壓縮的作用。由于數(shù)值大的系數(shù)都會(huì)集中在特定的區(qū)域，因此處理起來就非常方便。
    重構(gòu)信號(hào)時(shí)，把省略了的數(shù)值用0代換，然后進(jìn)行逆變換，就能夠得到原信號(hào)。在壓縮和解壓縮過程中，因?yàn)楹雎粤薉CT系數(shù)中的一些很小的數(shù)值，所以重構(gòu)出來的信號(hào)與原來的信號(hào)相比會(huì)有誤差，這是一種有損壓縮。DCT系數(shù)矩陣系數(shù)保留得越多，重構(gòu)的信號(hào)與原來的就越接近；系數(shù)保留得越少，重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量就會(huì)下降得越多。


    式(8)是三維DCT變換用于彩色圖像壓縮的矩陣表達(dá)形式。彩色圖像的R、G、B分量經(jīng)過變換之后，變成了頻域的DCT系數(shù)，極大地去除了原始圖像數(shù)據(jù)的相關(guān)性。根據(jù)DCT系數(shù)矩陣數(shù)值的特點(diǎn)，僅保留少數(shù)在左上角較大的系數(shù)，而忽略右下角近似為零的系數(shù)，從而把圖像進(jìn)行了壓縮。然后用處理后的DCT系數(shù)逆變換，重構(gòu)原始圖像：

    通過以上4個(gè)步驟，就可以對(duì)彩色圖像進(jìn)行大壓縮比的壓縮。當(dāng)原始的彩色圖像需要進(jìn)行存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅僅存儲(chǔ)和傳輸經(jīng)過取舍得到的上述3個(gè)矩陣的數(shù)值就可以了,數(shù)據(jù)量比原始圖像大大地減少了。那么如何用這些數(shù)據(jù)重構(gòu)原始圖像呢？重構(gòu)圖像與圖像壓縮是逆過程，步驟如下。
    (1)把經(jīng)過系數(shù)取舍的系數(shù)矩陣Xc(k,l,0)、Xc(k,l,1)和Xc(k,l,2)，對(duì)省略了的系數(shù)以0代替，每個(gè)矩陣恢復(fù)到大小為8×8的矩陣,然后分別進(jìn)行二維DCT逆變換；
    (2)利用式(9)計(jì)算出每一小塊R、G、B分量的值；
    (3)將每一小塊按原來的位置合并成一幅完整的圖像。
    由于系數(shù)矩陣Xc(k,l,0)、Xc(k,l,1)和Xc(k,l,2)的系數(shù)經(jīng)過取舍舍去了一些值很小的系數(shù)，因此重構(gòu)的圖像與原來的圖像是有所區(qū)別的。但適當(dāng)控制壓縮比，得到的圖像質(zhì)量還是相當(dāng)好，與原來圖像差別不大。
3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
    對(duì)圖像壓縮算法的好壞評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要有兩方面:一是壓縮比，在滿足一定的圖像質(zhì)量前提下，壓縮比越大越好；二是圖像質(zhì)量，壓縮后的圖像應(yīng)該是人眼可以接受的，壓縮后的圖像的質(zhì)量不能退化得太厲害，如壓縮后的圖像與原來圖像相比已經(jīng)面目全非，那么這個(gè)圖像壓縮就沒有意義了。
    壓縮比是一個(gè)很客觀的指標(biāo)，就是原來圖像的數(shù)據(jù)量與壓縮后圖像數(shù)據(jù)量的比值，即壓縮比=原圖像數(shù)值大小/壓縮后的圖像數(shù)值大小。對(duì)于圖像質(zhì)量好壞的評(píng)價(jià)，目前并沒有通行的標(biāo)準(zhǔn)，可以說是一項(xiàng)很主觀的工作。當(dāng)然，圖像質(zhì)量也有一些客觀的指標(biāo)，例如均方誤差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)，但這些客觀的指標(biāo)并不完美，有一定的局限性，并不能完全反映人的感受，與人對(duì)圖像的主觀感受并不完全一致。因此,觀察者仍然是圖像質(zhì)量?jī)?yōu)劣的最終判斷者。
    本文采用512×512的彩色圖像作為測(cè)試圖像，以驗(yàn)證本算法的有效性，結(jié)果如圖1所示。壓縮后圖像質(zhì)量主要是采用主觀評(píng)價(jià)方法，以人眼看不出與原始圖像有差別的前提下，能夠達(dá)到的最大壓縮比。

    其中，圖1(a)是原始圖像，圖1(b)保留了DCT系數(shù)矩陣Xc(k,l,0)中左上角5×5個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,1)中左上角4×4個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,2)中左上角3×3個(gè)系數(shù)，壓縮比為4:1;圖1(c)保留了DCT系數(shù)矩陣Xc(k,l,0)中左上角3×3個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,1)中左上角2×2個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,2)中左上角1×1個(gè)系數(shù)，壓縮比14:1;圖1(d)保留了DCT系數(shù)矩陣Xc(k,l,0)中左上角2×2個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,1)中左上角1×1個(gè)系數(shù)，Xc(k,l,2)中左上角1×1個(gè)系數(shù)，壓縮比為32:1。
    從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)壓縮比為4:1時(shí),壓縮后的圖像很好地保留了原來圖像的色彩和細(xì)節(jié),從肉眼看，與原來圖像差別不大；當(dāng)壓縮比為14:1時(shí)，圖像質(zhì)量沒有明顯改變，色彩與細(xì)節(jié)方面沒有明顯變差，肉眼看依然可以接受；當(dāng)壓縮比為32:1時(shí)，從圖像邊緣上可以看到一些鋸齒狀的痕跡，有些模糊，細(xì)節(jié)有所缺失，但顏色依然與原圖像保持一致。因此，本文算法在壓縮比達(dá)到14:1時(shí)，能夠保持很好的圖像質(zhì)量，做到壓縮比與圖像質(zhì)量的平衡。
    本文在傳統(tǒng)的二維DCT變換的基礎(chǔ)上提出了三維DCT變換，并將其用于彩色圖像壓縮。而在壓縮算法中，將其轉(zhuǎn)化為二維DCT變換,減少了算法的復(fù)雜度和運(yùn)算量。通過一系列實(shí)驗(yàn)，表明該算法具有壓縮比大、算法簡(jiǎn)單和速度快的特點(diǎn)。
參考文獻(xiàn)
[1] 章毓晉. 圖像處理和分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999.
[2] 胡廣書. 數(shù)字信號(hào)處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2012.
[3] 蘇志武,林定祥,章文輝.數(shù)字電視系統(tǒng)測(cè)量與監(jiān)測(cè)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2009.
[4] OPPENHEIM A V.信號(hào)與系統(tǒng)[M].劉樹堂,譯.北京：電子工業(yè)出版社, 2013.
[5] SKLAR B.數(shù)字通信(第2版)[M].徐平平,等，譯.北京：電子工業(yè)出版社, 2010.