摘  要： 為了解決高階次、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的直線二級倒立擺的穩(wěn)定控制問題，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器算法。結(jié)合線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器(LQR)方法，設(shè)計(jì)了融合函數(shù)，降低了模糊控制器的維數(shù)、減少了控制器規(guī)則數(shù)、實(shí)現(xiàn)了參數(shù)在線自校正，進(jìn)而提高了控制器的性能。借助固高科技倒立擺硬件平臺，采用MATLAB仿真及實(shí)時控制，系統(tǒng)均能在較短時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，且控制效果較好，滿足了穩(wěn)定性和魯棒性要求。

　　關(guān)鍵詞： 二級倒立擺；參數(shù)自校正；模糊控制；融合函數(shù)；LQR

　　倒立擺系統(tǒng)廣泛地應(yīng)用在非線性控制理論和研究方面。對于不同的倒立擺類型，控制方法比較多，主要有：雙PID及自適應(yīng)PID控制[1]、LQR及自適應(yīng)LQR[2]、LQG控制[3]、模糊邏輯控制[5-6]、自適應(yīng)滑模模糊控制[7]、模糊聚類[8]、神經(jīng)控制[9]、遺傳算法[10]等，這些方法均能有效地控制倒立擺系統(tǒng)。但這些控制算法有其優(yōu)缺點(diǎn)，同樣復(fù)雜的控制算法，實(shí)時控制效果不是很好，增加了實(shí)現(xiàn)的難度。PID控制器能夠有效地處理穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng)，但是，要想精確地調(diào)整PID控制器的增益是相當(dāng)困難的；LQR算法在線性系統(tǒng)中能夠較好運(yùn)用，而在非線性較強(qiáng)的系統(tǒng)中也存在一些不足之處；參考文獻(xiàn)[5-8]在模糊邏輯控制的基礎(chǔ)上采用不同的算法，能夠有效地控制非線性系統(tǒng)。模型建立好之后，非線性系統(tǒng)總是線性化在平衡點(diǎn)附近。忽略其他次要部分，這也會導(dǎo)致大的誤差；遺傳算法控制能夠在全局范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，具有更高的效率，但是也存在不足之處。其交叉和突變作用，不能夠確保個體具有較好的適應(yīng)度，給目標(biāo)函數(shù)的選取增加了困難。

　　本文在總結(jié)模糊控制和LQR算法基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器。運(yùn)用LQR方法，設(shè)計(jì)了融合函數(shù)，對模糊控制器進(jìn)行降階處理，實(shí)現(xiàn)參數(shù)在線自校正。通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，這種模糊控制方法能有效控制二級倒立擺系統(tǒng)。

　　1 二級倒立擺物理模型

　　在忽略空氣阻力、各種接觸摩擦之后，將二級倒立擺系統(tǒng)等效為小車，勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的剛性系統(tǒng)如圖1所示，物理參數(shù)如表1所示。

　　通過調(diào)用MATLAB函數(shù)可以判斷，二級倒立擺系統(tǒng)是能控能觀的。由于開環(huán)極點(diǎn)為p1，2，3，4=0、p5，6=±6.2074j，可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，就需要外加控制器。

　　2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)

　　2.1 融合函數(shù)的設(shè)計(jì)

　　二級倒立擺系統(tǒng)有小車位移和速度、下擺角度和角速度、上擺角度和角速度6個變量，如果將這6個變量作為模糊控制器的輸入，每個輸入變量在論域范圍內(nèi)取7個模糊子集，則會出現(xiàn)76=117 649條推理規(guī)則，這會大大影響模糊控制器的性能。由于線性系統(tǒng)具有可融合的特點(diǎn)，在此將二級倒立擺系統(tǒng)6個變量融合成為綜合誤差E和綜合誤差變化量EC，作為模糊控制器的輸入，則融合函數(shù)設(shè)計(jì)如下[12]。

　　(1)利用現(xiàn)代控制中的LQR方法，通過仿真試湊法選取使二級倒立擺系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)J=[XTQX+UTRU]dt為最小值的Q、R(Q、R為適當(dāng)維數(shù)的正定加權(quán)矩陣)，從而可以計(jì)算得出狀態(tài)反饋矩陣：

　　2.2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)

　　在基本模糊控制器基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了參數(shù)自校正模糊PI控制器[5-8]。經(jīng)上述融合函數(shù)降維后，根據(jù)圖2所示的模糊控制二級倒立擺結(jié)構(gòu)圖，選擇合適的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku。E、EC作為模糊控制器1的輸入量，U作為輸出控制量。輸入量和輸出量均采用三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，每個語言變量的論域?yàn)閧-6，6}，語言值設(shè)為{PB，PM，PS，ZE，NS，NM，NB}，分別表示{正大，正中，正小，零，負(fù)小，負(fù)中，負(fù)大}，以重心法解模糊化[13]。模糊控制器1控制規(guī)則表如表2所示。

　　為了對模糊控制器1的參數(shù)Ke、Kec、Ku進(jìn)行自校正，引入模糊控制器2，其調(diào)整方法為：當(dāng)系統(tǒng)的誤差E和誤差的變化EC較大時，應(yīng)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，此時需要降低量化因子Ke和Kec來降低E和EC輸入量的分辨率，同時加大比例因子Ku，使響應(yīng)加快；當(dāng)E和EC較小時，說明系統(tǒng)已經(jīng)趨于穩(wěn)定，此時要求提高系統(tǒng)精度，要增大量化因子Ke和Kec來提高對輸入變化的分辨率，同時減小比例因子，以減小超調(diào)量。此處Ke、Kec增加的倍數(shù)與比例因子Ku的減小倍數(shù)相同。

　　選擇輸入量和輸出量均為三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，取Ke、Kec的論域?yàn)閧-6，6}，在論域范圍內(nèi)把E、EC劃分為{NB，NS，NM，ZE，PS，PM，PB}7個模糊子集，取定義Ku的論域?yàn)閧0.125，0.25，0.5，1，2，4，8}，模糊子集定義為{AH，AM，AL，KO，CL，CM，CH}，分別表示{高放，中放，低放，不變，低縮，中縮，高縮}，以重心法解模糊化。模糊控制器2控制規(guī)則表如表3所示。

　　其中，參數(shù)調(diào)整方法為：(1)以原始的Ke、Kec對E、EC進(jìn)行量化得到E′、EC′；(2)將E′、EC′作為模糊控制器2的輸入量，輸出控制量為調(diào)整倍數(shù)M

　　對整定得出的控制量u與系統(tǒng)輸入量作差，作為PI控制器的輸入，再將PI控制器的輸出作為二級倒立擺狀態(tài)模型的輸入，即可以對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。

　　3 仿真結(jié)果分析

　　在Simulink環(huán)境中建立的二級倒立擺的參數(shù)自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

　　根據(jù)式(1)，取Q=diag(1000，500，500，0，0，0)，R=1，采用LQR方法得到狀態(tài)反饋矩陣K為：

　　K=[31.622 8  113.123 5  -227.437 8

　　28.301 8  1.071 5  -38.755 3]

　　代入式(3)，得融合函數(shù)為：

　　取系統(tǒng)的初始值為零，設(shè)置仿真時間為5 s，仿真步長為5 ms，通過多次調(diào)整參數(shù)，得到兩種控制器仿真曲線圖如圖4所示。由圖4可知，小車最終距離初始位置10 cm左右處保持平衡，下擺擺角偏離平衡位置最大值為0.05 rad，上擺擺角偏離平衡位置最大值為0.003 rad，系統(tǒng)能在2.5 s左右時間內(nèi)達(dá)到并維持平衡，由此可見控制效果比較理想。比較兩者的仿真結(jié)果可知，基于融合函數(shù)的參數(shù)自校正模糊PI控制器不僅能使小車維持平衡，而且系統(tǒng)的響應(yīng)速度也較快，可以用來對二級倒立擺實(shí)物系統(tǒng)實(shí)時控制。

　　在基本模糊控制器結(jié)構(gòu)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器，通過融合函數(shù)對模糊控制器的輸入進(jìn)行降維，避免了控制規(guī)則過多而影響控制性能的缺點(diǎn)，同時又對模糊控制器的量化因子和比例因子進(jìn)行在線校正調(diào)整，達(dá)到了自校正目的。為了測試倒立擺系統(tǒng)魯棒性，選用了外部測試方法(即施加外力與系統(tǒng))，系統(tǒng)能夠很快校正偏差，回到平衡位置。仿真結(jié)果和圖5實(shí)時控制曲線表明，這種控制器能有效地控制二級倒立擺系統(tǒng)，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能，響應(yīng)速度較快，魯棒性較好。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] GEORGE J，KRISHNA B，GEORGE V I，et al.Design of adaptive pid controller based on maximum modulus theoremfor inverted pendutum on a cart[J].Sensors & Transducers，2012，145(10)：163-171.

　　[2] Zhang Jiaolong，Zhang Wei.LQR self-adjusting based controlfor the planar double inverted pendulum[J].Physics Procedia，2012(24)：1669-1676.

　　[3] EIDE R，EGELID P M，STAMSO A，et al.LQG control for balancing an inverted pendulum mobile robot[J].Intelligent Control and Automation，2011，2(2)：160-166.

　　[4] Yi Jianqiang，YUBAZAKI N，HIROTA K.A new fuzzy controller for stabilization of parallel-type double inverted pendulum system[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，126(1)：105-119.

　　[5] KIZIR S，BINGUL Z，OYSU C.Fuzzy control of a real timeinverted pendulum system[J].Journal of Intelligent & Fuzzy Systems，2010(21)：123-133.

　　[6] Huang Chenghao，Wang Wenjuan，Chiu Chihhui.Design andimplementation of fuzzy control on a two-wheel inverted pendulum[J].IEEE Transaction on Industrial Electronics，2011，58(7)：2988-3001.

　　[7] Duan Xuechao，Qiu Yuanying，Duan Baoyan.Adaptive slidingmode fuzzy control of planar inverted pendulum[J].Control and Decision，2007，22(7)：774-777.

　　[8] SIVARAMAN E，ARULSELVI S.Modeling of an inverted pendulum based on fuzzy clustering techniques[J].Expert Systems with Applications，2011，38(11)：13942-13949.

　　[9] HASSANZADEH I，MOBAYEN S.PSO-based controller design for rotary inverted pendulum system[J].Journal of Applied Science，2008，8(16)：2907-2912.

　　[10] Ping Zhaowu，Huang Jie.Approximate output of spherical inverted pendulum by neural network control[J].Neurocomputing，2012，85(5)：38-44.

　　[11] 宋君烈，肖軍，徐心和.倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程建模與模糊控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，23(4)：333-337.

　　[12] 邢景虎，陳其工，江明.二級倒立擺基于融合函數(shù)的模糊控制[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，34(8)：1155-1158.

　　[13] 蔡自興.智能控制(第二版)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.