摘 要： 無線傳感器網(wǎng)絡（WSN）中的傳感器節(jié)點相互協(xié)作構成天線陣列，通過使用波束形成技術建立一個與無人機的通信連接。為了分散節(jié)點之間的處理和通信負載，提出了基于QR分解的分布式波束形成算法。建立MATLAB仿真模型對算法的性能進行分析，然后與集中式算法進行比較。分散處理負載的代價是增加了通信成本，從而導致網(wǎng)絡總功耗的增加。然而，每個節(jié)點的平均功率仍低于集中式算法中的簇頭，這樣就延長了節(jié)點的壽命。因此，該算法增強了網(wǎng)絡的魯棒性。
關鍵詞： 無線傳感器網(wǎng)絡；分布式；集中式；負載
1 基于LS的集中式波束形成算法簡介
基于LS的集中式方法的任何實現(xiàn)方案存在固有問題：處理負載不是分散在節(jié)點之間，而是由單一節(jié)點（簇頭）承擔，因此簇頭的能量很快就耗盡，發(fā)生故障的概率很大。如果這個簇頭出現(xiàn)故障，那么必須從頭開始解決LS問題，即一個新的中央節(jié)點必須重復這些工作：收集信息、計算權重系數(shù)、廣播信息，這造成了資源和時間的浪費。由于節(jié)點的電池壽命有限，因此節(jié)點失敗是很常見的?？偠灾?，集中式算法缺乏魯棒性。
2 基于QR分解的分布式波束形成算法
基于QR分解的分布式算法解決了集中式算法遇到的難題，付出的代價是增加了通信成本。對于魯棒性要求高的傳感器網(wǎng)絡，這種算法是可取的。簇頭收集所有傳感器節(jié)點的位置數(shù)據(jù)構造導向矩陣DH，然后對DH使用基于Householder變換的方法進行QR分解，對一個給定的期望響應Fd找到計算權重向量w的解決方法。
該算法利用DH的具體性質(zhì)進行QR分解。導向矩陣
其中n是傳感器節(jié)點的數(shù)量，m是逼近點的數(shù)量。D（?茲）H第i列的元素僅取決于相應的節(jié)點位置xi和相應的角度。
第一個節(jié)點向其余所有節(jié)點廣播H1，其他節(jié)點經(jīng)過H1的作用后，它們相應的列發(fā)生改變。同理，所有的Householder變換H1，H2，…，Hn-1，Hn作用后，將得到如下的上三角矩陣
其中a的上（k）標表示矩陣元素aij經(jīng)過了Hk的作用，i=2，3，…，m，j=2，3，…，n；k=2，3，…，n。由于Householder變換只對其影響到的元素起作用，所以整個過程不會產(chǎn)生額外的處理負載，集中式和基于QR分解分布式方法在處理負載上沒有區(qū)別。分布式方式一個明顯的優(yōu)勢是陣列中的每一個節(jié)點不需要承載所有的計算負載，它們依次完成QR分解，共同分擔計算負載。然而，該過程中會產(chǎn)生一些額外的通信負載，因為需要廣播矩陣。這就是減輕簇頭過重處理負載所付出的代價。
第二階段是利用這些Householder變換更新期望響應
第三階段是利用回代解決系統(tǒng)方程R1=c1=[c1 c2 … cn]H，其中R1是矩陣DnH前n行的n×n上三角矩陣。第n個節(jié)點通過等式n=cn計算出波束形成的權重n，然后第n個節(jié)點向所有節(jié)點廣播其位置xn和權重n。第n-1個節(jié)點收到廣播信息后，同樣，第n-1個節(jié)點向所有節(jié)點廣播其位置xn-1和權重n-1，第n-2個節(jié)點收到廣播信息后，通過第n-2個等式計算出權重?棕n-2。最后，每個節(jié)點都得到了自身的權重，這些節(jié)點協(xié)調(diào)工作構成傳感器網(wǎng)絡，形成天線陣列。
3 算法性能分析
計算成本用實現(xiàn)所需要的指令數(shù)來衡量。在中央處理器中，求解分布式QR分解算法的指令數(shù)Ni=2n2（m-n/3）+mn+n2，其中第一項是由QR分解決定，第二項是利用Householder變換更新期望響應的向量產(chǎn)生的，最后一項是利用回代解決權重問題產(chǎn)生的。
在分布式方法的第一階段中，第一個節(jié)點不構造整個矩陣，只使用它的第一列構造第一個Householder矩陣H1。然后在后面的回代階段，使用H1計算R1的第一行。同樣地，第二個節(jié)點使用第二列計算H2和R1更新的第二行。因此，整個過程不會增加額外計算，總處理成本正好等于集中式方法的總處理成本。定義Pi為每條指令的平均功率，處理功率Pp：
Pp=Ni×Pi=[2n2（m-n/3）+mn+n2]×Pi（3）
在集中式算法中，通信成本只與實現(xiàn)算法所發(fā)送陣元的數(shù)據(jù)量有關，簇頭從n個節(jié)點收集所有位置信息，發(fā)送n個權重，所以傳送的數(shù)據(jù)量Nt=2n。
在分布式算法中，對于第一階段，任一節(jié)點i發(fā)送矩陣Hi，共有m-i+2個數(shù)，因此第一階段的所有節(jié)點發(fā)送的總數(shù)據(jù)量為：
對于回代階段，除了第一個節(jié)點外的每個節(jié)點都要向其他節(jié)點廣播它們的位置和權重，因此回代階段發(fā)送的總數(shù)據(jù)量CBS=2（n-1）。最后得到通信的總數(shù)據(jù)量C=CQR+CBS=（m+4-n/2）（n-1）。假設每個陣元用b比特（bit）來表示，那么所傳送的比特數(shù)Ntb=C×b。定義Ptb為傳送每bit的平均功率，通信功率Pc
Pc=Ntb×Ptb=（m+4-n/2）（n-1）×Ptb×b（5）
因此，算法實現(xiàn)過程中的總功率是式（3）和式（5）的和。
P=[2n2（m-n/3）+mm+n2]×Pi+（m+4-n/2）（n-1）×Ptb×b（6）
同理，集中式算法的總功耗為：
P=[2n2（m-n/3）+mm+n2]×Pi+2n×Ptb×b（7）
4 仿真結果
圖1和2分別繪出了總功耗和逼近點數(shù)量m、傳感器數(shù)量n的函數(shù)圖形。其中Ptb=tb×Pi，歸一化功率Pn=[2n2（m-n/3）+mm+n2]+（m+4-n/2）（n-1）。
從圖中可以明顯看出，分布式算法比集中式算法的功率高，這是額外通信負載造成的。然而，分布式算法的總成本不是由單一節(jié)點承擔，而是分散在傳感器網(wǎng)絡節(jié)點之間。例如，圖1中部署了20個傳感器節(jié)點，其分布式算法的功率大約是集中式算法的5倍。因此，集中式算法的簇頭所消耗的功率大約是分布式算法的傳感器節(jié)點的4倍。顯然，這將導致簇頭迅速失敗，意味著將需要選擇一個新的簇頭重新開始所有的計算。因此，用分布式方法的總功耗來換取網(wǎng)絡的魯棒性是非常合理的。
本文對基于QR分解的分布式波束形成算法做了詳細的介紹，該算法降低了節(jié)點平均功耗，付出的代價是增加了通信功率，進而增加了網(wǎng)絡中的總功耗。然而這個總功率分散在傳感器節(jié)點之間，因此分布式算法中單個傳感器節(jié)點的平均功率低于集中式算法中簇頭所需要的功率。因此，網(wǎng)絡出現(xiàn)故障的概率大大降低，增強了魯棒性。本文進行了一些假設，如節(jié)點可以精確地計算它們的位置，它們之間的通信不受噪聲影響。將來的工作可能要研究這些誤差對計算權重向量和陣列性能的影響。本文在均勻采樣的基礎上選擇一些逼近點，但也可以選擇其他的方法，如使用非均勻網(wǎng)格。最后，通信成本被定義為實現(xiàn)算法所需要傳送數(shù)據(jù)的一個函數(shù)。然而除了本文中一些產(chǎn)生功耗的因素，還有其他產(chǎn)生功耗的因素，如數(shù)據(jù)包開銷和由于碰撞、錯誤導致的重傳，這些功耗是總功耗的一部分，在將來的工作中需要考慮。
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