摘 要： 子空間理論中被用于奇異值分解或特征值分解的自相關(guān)矩陣,通?？杀硎緸榻邮障蛄颗c其自身轉(zhuǎn)置的乘積。提出了自相關(guān)矩陣的新型構(gòu)造算法。該算法構(gòu)造的自相關(guān)矩陣，特征值分解后其對(duì)噪聲不敏感，克服了常規(guī)子空間方法的弱點(diǎn)。仿真試驗(yàn)表明，該方法應(yīng)用在高噪聲、低信噪比的實(shí)際通信環(huán)境下，特征值不會(huì)被噪聲湮沒(méi)，從根本上解決了傳統(tǒng)子空間分辨率不足的問(wèn)題。同時(shí)，仿真表明，該方法對(duì)于多用戶擴(kuò)頻信號(hào)同樣適用，可解決多用戶擴(kuò)頻信號(hào)的碼元分離問(wèn)題，其計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算一致，驗(yàn)證了算法的正確性。

　　關(guān)鍵詞： 子空間理論；相關(guān)矩陣；特征值分解；直序列擴(kuò)頻

0 引言

　　基于特征值分解（EVD）和基于奇異值分解（SVD）的子空間算法是近年來(lái)研究的熱門(mén)方向。其在信號(hào)處理方面，如信號(hào)的頻譜估計(jì)、陣列傳感器數(shù)據(jù)估計(jì)和其他參數(shù)估計(jì)[1]等方面越來(lái)越受到廣泛重視。但上述研究都是針對(duì)普通高信噪比情況下的調(diào)制信號(hào)而言，對(duì)于噪聲環(huán)境中的擴(kuò)頻后的直擴(kuò)信號(hào)罕有研究，對(duì)此，本文改進(jìn)了子空間算法的分解矩陣——相關(guān)矩陣，對(duì)含噪情況下的直擴(kuò)信號(hào)的分解算法做出了研究。

　　子空間[2]的相關(guān)矩陣（這里用R表示）可以用如下公式表示：

　　其中yi代表第i個(gè)采樣窗口內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)（共M個(gè)采樣點(diǎn)）；代表N個(gè)窗口內(nèi)所有數(shù)據(jù)的平均值。

　　從上式可以看出，特征值的大小取決于信噪比而與統(tǒng)計(jì)窗口累計(jì)次數(shù)的多少并無(wú)關(guān)聯(lián)。由此可以得出結(jié)論，傳統(tǒng)子空間方法[3-4]，僅僅依靠增加統(tǒng)計(jì)窗口個(gè)數(shù)是無(wú)法解決提取信號(hào)特征值[5]，每個(gè)窗口如果都是處于較低信噪比的條件下，信號(hào)特征值仍然會(huì)湮沒(méi)在噪聲中。

　　區(qū)別于傳統(tǒng)子空間方法，本文提出的重構(gòu)方法，對(duì)R的建立不再采用missing image file的方式，而改用累乘的方法，即采樣后的一段數(shù)據(jù)，各個(gè)窗口累乘，從而構(gòu)造出新的相關(guān)矩陣。下文簡(jiǎn)稱(chēng)該方法為累乘算法（Matrix Multiplication based Subspace，MMS）。

　　該算法構(gòu)造的新型矩陣具備如下特點(diǎn)：

　?。?）保留傳統(tǒng)子空間方法構(gòu)造矩陣的特性（在信號(hào)特征值與信噪比函數(shù)之間建立聯(lián)系）。

　?。?）分解后的信號(hào)特征值大小與累計(jì)窗口數(shù)量相關(guān)。即信號(hào)特征值既是信噪比（SNR）ρ的函數(shù)也是累積窗口分段數(shù)K的函數(shù)。

　?。?）分析窗口數(shù)量越多，信號(hào)特征值增長(zhǎng)越快，而噪聲特征值幾乎不隨分析窗口的數(shù)量增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。當(dāng)累計(jì)窗口數(shù)量達(dá)到一定程度時(shí)，就能明顯區(qū)分出信號(hào)特征值與噪聲特征值。

　　文中最后將該算法構(gòu)造的相關(guān)矩陣用矩陣特征值分解后得到新的特性，并將直擴(kuò)信號(hào)作為算法的輸入信號(hào)源，最終成功提取出多用戶直擴(kuò)信號(hào)碼型。

1 直序列擴(kuò)頻信號(hào)數(shù)學(xué)模型

　　直序列擴(kuò)頻是將一個(gè)較窄的用戶信號(hào)，通過(guò)直接相乘，使其變成一種寬帶、高速率的碼元信號(hào)。由于信號(hào)速率提高，從頻域上看，其占用的帶寬相應(yīng)也變寬。

　　對(duì)本文使用到的各種數(shù)學(xué)符號(hào)作如下定義：

　　missing image file :用戶擴(kuò)頻序列；

　　P:序列位數(shù)（長(zhǎng)度）；

　　Ts: 符號(hào)周期；

　　Te: 采樣周期；

　　Tc:碼片周期()；

　　t0: 失步時(shí)間（采樣窗口與實(shí)際的符號(hào)起止窗口時(shí)間差），如圖1所示；

　　h(t):信號(hào)傳輸過(guò)程中所有信號(hào)畸變帶來(lái)的影響總和，也可以理解為傳輸鏈中發(fā)射端濾波器、信道濾波器、接收端濾波器和其他信道畸變影響帶來(lái)失真的卷積,表示如下：

　　missing image file：h(t)的矢量表示；

　　s(t): 擴(kuò)頻信號(hào)經(jīng)接收機(jī)接收、解調(diào)后的基帶信號(hào):

　　n(t)：噪聲；

　　σ2: 噪聲方差;

　　y(t)=s(t)+n(t): 接收機(jī)解調(diào)輸出含噪信號(hào)。

　　對(duì)上述變量和以下要推導(dǎo)的公式，需做如下限定：

　?。?） 擴(kuò)頻前用戶基帶信號(hào)ak在較長(zhǎng)期限內(nèi)“+1”、“-1”數(shù)量大體相等，均值為零；

　　（2）n(t)為與信號(hào)ak相互獨(dú)立的（完全不相關(guān)的）高斯型白噪聲；

　?。?）通過(guò)參考文獻(xiàn)[6-7]，已經(jīng)獲取到該擴(kuò)頻信號(hào)的一些參數(shù)，如射頻載波頻率f0、符號(hào)周期Ts、碼片周期Tc等。

　　對(duì)于假設(shè)（3），使用循環(huán)譜相關(guān)方法能夠在極低SNR下計(jì)算出碼片周期Tc和載波頻率f0。一旦f0可得，可以設(shè)計(jì)相應(yīng)下變頻接收機(jī)，通過(guò)NCO產(chǎn)生f0頻率，對(duì)射頻信號(hào)f0進(jìn)行相乘，從而下變頻到基帶。

　　若Tc已知，為了后續(xù)計(jì)算的簡(jiǎn)便，可將仿真采樣周期Te直接設(shè)置成Tc，但這樣僅僅為了計(jì)算方便，并非必要，即Tc可不知。

　　同樣，采用倒譜技術(shù)能估計(jì)出擴(kuò)頻信號(hào)的符號(hào)周期Ts，將采樣窗口周期設(shè)置為T(mén)s。

2 累乘算法

　　按照上節(jié)所述，每個(gè)采樣窗口時(shí)長(zhǎng)為T(mén)s，每個(gè)窗口內(nèi)再分為K段，K段內(nèi)又包含N個(gè)獨(dú)立計(jì)算窗口，每段單獨(dú)計(jì)算自相關(guān)。將K個(gè)自相關(guān)矩陣相乘，得到新算法后的帶分解矩陣：

　　式中表示第k個(gè)N組窗口的均值；yi表示k段第i個(gè)窗口中采樣序列。yi為列矢量。

　　按照上述理論，采樣窗口周期設(shè)置為符號(hào)周期，單個(gè)采樣周期內(nèi)應(yīng)該橫跨兩個(gè)符號(hào)，其中一個(gè)符號(hào)為ak，保持時(shí)間為t0（t0為失步時(shí)間，未知）；第二個(gè)符號(hào)表示為 ak+1，保持時(shí)間為整個(gè)符號(hào)周期減去上一個(gè)符號(hào)的保持周期(Ts-t0)。由于單個(gè)采樣周期內(nèi)存在兩個(gè)符號(hào)，對(duì)該采樣周期內(nèi)的相關(guān)矩陣分解后，將呈現(xiàn)兩個(gè)較大特征值，該特征值分別表示上述兩個(gè)符號(hào)，而其他特征值均為噪聲特征值：

　　根據(jù)式（3），有：

　　其中I為單位矩陣。由式（4）可以得出：矩陣中存在兩個(gè)較大的特征值，每個(gè)值對(duì)應(yīng)特征矢量為missing image file/missing image file與系數(shù)的乘積。

　　根據(jù)如下定義，可改寫(xiě)式（4），為基帶符號(hào)的方差，定義：

　　定義如下：

　　式（4）可改寫(xiě)為式（5）：

　　擴(kuò)頻后的信號(hào)方差可表示為：

　　信噪比不直接采用信號(hào)比噪聲，也不采用dB為單位的對(duì)數(shù)表達(dá)式，定義如下：

　　式（5）可改寫(xiě)為：

　　對(duì)矩陣（6）進(jìn)行特征值分解，R的特征值中λ1、 λ2為上述表達(dá)符號(hào)矢量的兩個(gè)較大特征值（信號(hào)特征值），其他特征值λi(i≥3)則可稱(chēng)為噪聲特征值，由系統(tǒng)中的各類(lèi)噪聲引起。

　　根據(jù)式（7），使用新型累乘構(gòu)造方法，λ1、λ2不僅與信噪比ρ有關(guān)，同時(shí)也與分段數(shù)量K相關(guān)（即λ1、 λ2是ρ和K的函數(shù)）。

　　比較傳統(tǒng)子空間相關(guān)函數(shù)構(gòu)造方法：

　　從式(8)可以得到，傳統(tǒng)方法僅是信噪比ρ的函數(shù),而與參與計(jì)算的窗口數(shù)量沒(méi)有關(guān)系,窗口數(shù)量的提升不會(huì)改善信號(hào)特征值的分辨率。

　　式（7）、式（8）之間關(guān)系為：

　　式（9）按級(jí)數(shù)序列展開(kāi)公式簡(jiǎn)化后得到：

　　為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，這里假設(shè)：

　　根據(jù)式（10），得到新算法特征值 λ1、λ2和λi之間的關(guān)系：

　　根據(jù)式（8），得到傳統(tǒng)算法特征值之間關(guān)系：

　　比較式（11）、式（12），低信噪比條件下，根據(jù)定義，此時(shí) 得出結(jié)論：使用傳統(tǒng)自相關(guān)算法構(gòu)造的矩陣，分解后得到的結(jié)果不能從噪聲特征值中有效地分辨出信號(hào)特征值。而采用MMS累計(jì)得到的相關(guān)矩陣，分解后由于K為一個(gè)大的正整數(shù)，能有效增加λ1、λ2與其他特征值λi之間的差異。

　　3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　考慮到計(jì)算量的問(wèn)題，在驗(yàn)證該算法的有效性時(shí)，文中使用自相關(guān)、互相關(guān)性非常好的Gold碼作為擴(kuò)頻序列，碼長(zhǎng)設(shè)為63，調(diào)制類(lèi)型設(shè)為QPSK (Quaternary Phase Shift Keying)，信噪比設(shè)為SNR=-30 dB (按照如上定義，ρ=0.001)，采用K×N=10 000個(gè)分析窗口，對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。

　　采樣周期Te=Tc=Ts/P，采樣窗口周期設(shè)為T(mén)s，為了方便計(jì)算，信道內(nèi)沒(méi)有多徑干擾，失步系數(shù)設(shè)定為T(mén)0/Ts =0.4，失步時(shí)間t0原則上未知，但可通過(guò)式（10）得出。

　　按照上述參數(shù)設(shè)置，最終分解后的特征值：

　　missing image file

　　missing image file比例關(guān)系接近1:1:1，如圖2所示，信號(hào)特征值完全湮沒(méi)在噪聲特征值的波動(dòng)之中。圖2與式（13）中的理論計(jì)算相吻合，此時(shí)不能獨(dú)立分離出信號(hào)特征值。

　　采用新算法MMS后，設(shè)定K=8, N=1 250，同樣10 000個(gè)窗口條件下的仿真結(jié)果，如圖3所示。表明missing image file之間比例關(guān)系：

　　采用新算法后，可以明顯發(fā)現(xiàn)λ1、λ2受K的影響，能明顯分辨出信號(hào)特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi之間的差異。

　　同樣，在不改變總窗口數(shù)量10 000的條件下，調(diào)整分段數(shù)，使K=20, N=500，信號(hào)特征值與噪聲特征值比例關(guān)系理論上應(yīng)為：

　　圖4證明了這一理論推導(dǎo)。同理，比較圖3、圖4，隨著K的增加，信號(hào)特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi的差異越來(lái)越明顯。但總窗口數(shù)K×N一直為10 000，數(shù)量并未增加。K的增加導(dǎo)致每段內(nèi)窗口數(shù)N的減??；樣本數(shù)N的減小導(dǎo)致噪聲對(duì)待分解矩陣R的影響增大。每個(gè)分段求出的相關(guān)矩陣差異較大，所以累乘方法求出的信號(hào)特征值的均方差波動(dòng)比傳統(tǒng)算法大。為了克服這一缺點(diǎn)，MMS算法適用于存在足夠多分析窗口(即樣本數(shù)足夠多)的情況下，此時(shí)N和K都能取得一個(gè)較大的數(shù)值，N的增大可減小每個(gè)相關(guān)矩陣的均方差波動(dòng)，K的增大可提高信號(hào)特征值分辨率。

　　將信號(hào)特征值λ1、λ2代表的特征矢量組合，可得到待估計(jì)的Gold碼，組合方法不是本文討論重點(diǎn)，不再詳述，可參考文獻(xiàn)[8]。

4 結(jié)論

　　本文在近年來(lái)研究熱門(mén)子空間分解的基礎(chǔ)上，提出了一種對(duì)帶有噪聲信號(hào)的相關(guān)矩陣構(gòu)造方法。這一方法重新設(shè)計(jì)了信號(hào)相關(guān)矩陣的構(gòu)造算法，利用累乘計(jì)算，將各個(gè)分段矩陣互乘，計(jì)算量與傳統(tǒng)構(gòu)造方法相似。用擴(kuò)頻信號(hào)驗(yàn)證了該算法的理論推導(dǎo)與仿真，仿真結(jié)果表明，該算法實(shí)際計(jì)算與理論推導(dǎo)一致，可有效解決低信噪比條件下無(wú)法提取擴(kuò)頻用戶碼序列的問(wèn)題。同時(shí)，該算法也存在缺陷，即該算法需要樣本數(shù)量足夠多，并要保證N和K的取值都較大，這樣便可同時(shí)在低波動(dòng)性和高分辨率兩項(xiàng)指標(biāo)上都取得較好的結(jié)果。

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