摘  要： 二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Bidimensional Empirical Mode Decompositio，BEMD）是一種優(yōu)秀的多尺度幾何分析工具，特別適用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理。以BEMD與新型隱馬爾可夫樹（Hidden Markov Tree，HMT）模型理論為基礎(chǔ)，提出了一種基于BEMD的新型HMT模型的圖像去噪算法。該算法的基本思想是，首先對(duì)含噪圖像進(jìn)行BEMD變換，然后采用新型HMT模型對(duì)BEMD系數(shù)進(jìn)行建模，并通過期望最大（EM）算法對(duì)圖像BEMD的HMT模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最后對(duì)訓(xùn)練后的BEMD系數(shù)進(jìn)行逆變換，以獲得去噪圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法不僅擁有較強(qiáng)的抑制噪聲能力，而且具有較好的邊緣保護(hù)能力，其整體性能優(yōu)于現(xiàn)有HMT圖像去噪方案。

　　關(guān)鍵詞： 圖像去噪；二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；隱馬爾可夫樹；參數(shù)估計(jì)

0 引言

　　圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中，經(jīng)常會(huì)受到各種噪聲的污染。噪聲的存在將大大降低原圖像的分辨率，從而嚴(yán)重影響后續(xù)的圖像處理，如圖像檢索、圖像分割等。圖像去噪的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于抑制噪聲的同時(shí)保護(hù)邊緣紋理。

　　一般說來，傳統(tǒng)圖像去噪方法大致可以劃分為雙邊濾波、非局部均值、條件隨機(jī)場、各向異性擴(kuò)散和統(tǒng)計(jì)模型方法等[1]。

　　雙邊濾波[2]不僅考慮空間位置上的距離關(guān)系，同時(shí)也考慮相鄰像素灰度值之間的距離關(guān)系，通過對(duì)二者的非線性組合，在去除噪聲的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)邊緣信息的良好保留，然而，它常常使圖像過于平滑。非局部均值法[3]是利用圖像中具有重復(fù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)來去除噪聲，可以得到較好的去噪效果，但它計(jì)算復(fù)雜度高，限制了其實(shí)際應(yīng)用。條件隨機(jī)場（CRFs）[4]建模比較靈活，且不需要明確的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，然而，在真?shí)世界中，很難找到擁有全局最小值的能量函數(shù)。各向異性擴(kuò)散法[5]能在保持邊緣的前提下平滑噪聲，獲得較好的去噪效果，但是該方法過于平滑圖像且邊界過于尖銳，以至于喪失了很多紋理信息。統(tǒng)計(jì)模型法[6]通?；诤唵蔚慕y(tǒng)計(jì)模型去刻畫圖像信息，這些信息往往是自然圖像的某些共同特征。統(tǒng)計(jì)模型的目的就是使用少量的參數(shù)捕獲這些典型的特征，并且將這些特征在圖像處理中作為先驗(yàn)信息使用。

　　傳統(tǒng)分析工具對(duì)于圖像邊緣紋理信息捕獲不是很理想，二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Bidimensional Empirical Mode Decoposition，BEMD）[7-8]是一種新型的自適應(yīng)信號(hào)時(shí)頻處理方法，特別適用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理。這種方法的主要思想是把一個(gè)時(shí)間序列的信號(hào)分解成不同尺度的本征模函數(shù)（IntrinsicMode Function，IMF），分解后的本征模態(tài)函數(shù)的頻率逐步降低，并在分解過程中保持信號(hào)本身的特性。它與傳統(tǒng)方法的主要不同之處在于不需要事先選擇“基函數(shù)”，而是根據(jù)信號(hào)本身的特性自適應(yīng)地產(chǎn)生合適的表示函數(shù)，與小波方法相比有更好的時(shí)頻特性。綜合各種模型和多分辨率分析方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種基于BEMD域的新型HMT模型去噪算法。

1 BEMD變換

　　BEMD[7-8]可以將信號(hào)分解為多個(gè)局部窄帶的IMF和殘差趨勢(shì)項(xiàng)的和：

　　其中f（x）代表信號(hào)，n為分解層數(shù)，imfi（x）表示第i層IMF，rn（x）表示殘差趨勢(shì)項(xiàng)。二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法簡述如下：

　?。?）初始化：r0（x1，x2）=f（x1，x2），j=1。

　　（2）篩選抽取第j個(gè)IMF：

　?、俪跏蓟篽0（x1，x2）=rj-1（x1，x2），i=1。

　?、谔崛j-1（x1，x2）的上包絡(luò)hupper（x1，x2）、下包絡(luò)hlower（x1，x2）和包絡(luò)均值mj-1（x1，x2）。

　　③hj（x1，x2）=hj-1（x1，x2）-mj-1（x1，x2）。

　?、苡?jì)算終止條件SD：

　　其中，Maxmid為mi-1（x1，x2）的絕對(duì)值的最大值；Maxma為f（x1，x2）的絕對(duì)值的最大值。

　?、萑鬝D小于給定閾值ε，則imfj（x1，x2）=hi-1（x1，x2）；否則令i=i+1，轉(zhuǎn)到步驟②。

　?。?）rj（x1，x2）=rj-1（x1，x2）-imfj（x1，x2）。

　?。?）得到BEMD分解表達(dá)：

2 BEMD域的新型HMT圖像去噪

　　首先對(duì)圖像進(jìn)行BEMD變換，得到高頻子帶IMF和低頻子帶rn（x）。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，噪聲主要存在于分解的高頻子帶，而低頻子帶中幾乎不含有噪聲能量，所以接下來只對(duì)高頻子帶進(jìn)行去噪處理。

　　2.1 計(jì)算變換系數(shù)的條件概率密度

　　含有加性高斯白噪聲的圖像經(jīng)過變換后，其系數(shù)所含噪聲依然為加性。根據(jù)這一原理，可以使用卷積運(yùn)算得到噪聲系數(shù)的條件概率密度[9-12]：

　　由于卷積計(jì)算非常困難，此處采用GSM方法表示式（3），其方差為zCX+CW，在隱乘子z下的條件概率密度為：

　　fY|Z（y|z）=N（y；0，zCX+CW）（4）

　　對(duì)fY|Z（y|z）進(jìn)行積分運(yùn)算：

　　2.2 計(jì)算系數(shù)尺度間平均圓錐比率概率密度

　　之前的HMT模型去噪算法基本上都是只考慮了系數(shù)尺度內(nèi)的關(guān)系，忽略了尺度間的關(guān)系。系數(shù)尺度間比率（Average Cone Ratio，ACR）[10]能夠很好地描述圖像分解后每個(gè)尺度間系數(shù)的特性，結(jié)合鄰域間的關(guān)系，把它定義為：

　　其中，j表示尺度，l表示中心點(diǎn)位置，yj，m表示變換系數(shù)。子帶中每個(gè)點(diǎn)都有自己的圓錐比率，但是我們需要計(jì)算的是某個(gè)點(diǎn)的平均圓錐比率，這才是后面進(jìn)行聯(lián)合概率密度計(jì)算時(shí)需要的。首先，求出子帶所有點(diǎn)的圓錐比率之和，然后除以系數(shù)的個(gè)數(shù)得到整個(gè)子帶的平均圓錐比率，最后點(diǎn)A的平均圓錐比率等于A點(diǎn)的圓錐比率除以整個(gè)子帶的平均圓錐比率。

　　2.3 新型HMT樹訓(xùn)練

　　在2.1、2.2節(jié)中計(jì)算出了變換系數(shù)尺度內(nèi)的條件概率密度|yl|以及變換系數(shù)尺度間對(duì)應(yīng)位置的平均圓錐比率?茁，使用聯(lián)合概率密度函數(shù)[10]：

　　求出上述聯(lián)合概率密度之后，應(yīng)用新型HMT模型對(duì)BEMD變換系數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，詳細(xì)步驟如下[12]：

　?。?）對(duì)每一個(gè)高頻子帶，估計(jì)它們的指數(shù)分布參數(shù)：?專={τ，CX}。

　　（2）計(jì)算條件概率密度fM|S（m|s=0）和fM|S（m|s=1）。

　?。?）為了加快訓(xùn)練速度，采用如下狀態(tài)概率進(jìn)行初始化：

　?。?）使用EM算法進(jìn)行訓(xùn)練，其中，E步：估計(jì)隱狀態(tài)變量的概率；M步：更新，最大化似然函數(shù)。

　?。?）一直遞歸運(yùn)算，直到收斂。

　　2.4 使用貝葉斯規(guī)則進(jìn)行去噪

　　隱狀態(tài)概率已經(jīng)在HMT中被計(jì)算出來，所以可以使用收縮函數(shù)算法進(jìn)行去噪：

　　通過式（8）對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪，得到去噪后系數(shù)，應(yīng)用BEMD逆變換得到去噪后圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　為了檢驗(yàn)本文算法的正確性和有效性，實(shí)驗(yàn)中比較了ProbShrink去噪、BLS-GSM去噪、SUREbivariate去噪、Contourlet HMT去噪以及C-CHMM去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1、圖1所示。

　　從表1中可以看出，與ProbShrink去噪、BLS-GSM去噪、SUREbivariate去噪相比，本文方法的PSNR值較高，尤其是Barbara圖像。與Contourlet HMT去噪、C-CHMM去噪相比，本文方法有0.5 dB~1 dB的提高。

　　同時(shí)為了從主觀上比較本文算法與以上HMT算法的去噪效果，給出了Lena圖像去噪主觀結(jié)果的比較。圖1中包含了去噪圖像的對(duì)比以及殘差圖像的對(duì)比。從圖1中可以看出，BEMD+新型HMT去噪后的圖像得到了適度的平滑，同時(shí)細(xì)節(jié)信息比較完整地保存了下來，視覺效果有明顯改善。綜上所述，本文方法更好地保存了原始圖像的細(xì)節(jié)特征，同時(shí)有效消除了噪聲，在圖像質(zhì)量和PSNR值的表現(xiàn)上都有顯著的提升，視覺效果有明顯的改善。

　　本文算法性能突出，歸結(jié)為以下兩個(gè)原因：（1）新型HMT利用聯(lián)合概率密度對(duì)系數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，通過描述系數(shù)尺度內(nèi)與尺度間的多種關(guān)系，可以較好地保存圖像的細(xì)小邊緣和紋理等信息，明顯地改善了圖像的視覺效果；（2）BEMD具有多尺度、多方向性，能夠有效捕捉圖像中的幾何特征及對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示，為圖像去噪提供更多的有用信息，保留更多的細(xì)節(jié)信息。

4 總結(jié)

　　本文提出了一種基于BEMD域新型HMT的圖像去噪方法。首先在BEMD變換的基礎(chǔ)上利用HMT建立圖像模型，然后通過貝葉斯估計(jì)得到去噪后的圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能很好地去除圖像中的高斯白噪聲，提取圖像的輪廓細(xì)節(jié)，提高去噪圖像的PSNR值。與其他的去噪方法相比，BEMD+新型HMT的去噪方法不僅在去噪性能指標(biāo)而且在邊緣保持的主觀視覺上都表現(xiàn)出優(yōu)異的性能。

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