摘  要： 針對(duì)半色調(diào)圖像分類(lèi)中只存在0和1的特點(diǎn)，提出了一種基于改進(jìn)的協(xié)方差矩陣在半色調(diào)圖像中的分類(lèi)方法。根據(jù)協(xié)方差矩陣在實(shí)現(xiàn)半色調(diào)圖像分類(lèi)中個(gè)數(shù)少且并未體現(xiàn)其局部和全局信息的特性，對(duì)協(xié)方差矩陣的底層特征進(jìn)行改進(jìn)。利用樣本的局部特性和核密度估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)黎曼流形上的貝葉斯分類(lèi)策略。實(shí)驗(yàn)中研究協(xié)方差矩陣的底層特征與傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣的特征提取方法并對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)性能比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在半色調(diào)圖像分類(lèi)中，與傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣相比較，改進(jìn)的協(xié)方差矩陣提取出的特征在分類(lèi)中平均錯(cuò)誤分類(lèi)率更低。

　　關(guān)鍵詞： 半色調(diào)圖像；協(xié)方差矩陣；黎曼流形；最近鄰分類(lèi)器

0 引言

　　數(shù)字半色調(diào)（也稱(chēng)為空間抖動(dòng)）始于19世紀(jì)50年代，是將一幅連續(xù)色調(diào)的圖像先進(jìn)行二值化處理，再用這些黑白二色的點(diǎn)來(lái)表示各個(gè)等級(jí)灰度的技術(shù)[1]。數(shù)字半色調(diào)技術(shù)已廣泛應(yīng)用于傳真、打印、印刷、顯示設(shè)備及數(shù)字圖像的壓縮存儲(chǔ)等領(lǐng)域。較常用的數(shù)字半色調(diào)方法有：有序抖動(dòng)法[2]、誤差分散法[3]、點(diǎn)分散法[4]、綠噪聲半調(diào)法[5]等。通過(guò)分析現(xiàn)有的半色調(diào)技術(shù)可知，不同半色調(diào)技術(shù)應(yīng)用于多級(jí)圖像時(shí)將產(chǎn)生具有各自不同特性的半色調(diào)圖像[6]，有周期性、點(diǎn)分布、點(diǎn)分散性、點(diǎn)相關(guān)性等。當(dāng)通用型逆半色調(diào)技術(shù)用于某種半色調(diào)圖像的重建時(shí)，將缺少相關(guān)半色調(diào)模式信息，所以較難獲得半色調(diào)圖像的最優(yōu)重建。

　　目前數(shù)字半色調(diào)圖像分類(lèi)方法的研究比較少。Chang[7]首先對(duì)半色調(diào)圖像分類(lèi)進(jìn)行研究，指出在半色調(diào)圖像恢復(fù)成連續(xù)灰度圖像之前運(yùn)用一維自相關(guān)函數(shù)，提取出四類(lèi)半色調(diào)圖像，最后用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分類(lèi)。雖然該方法分類(lèi)結(jié)果有時(shí)能達(dá)到100%，但獲取的類(lèi)別比較少。文志強(qiáng)[1，8]提出一種在3個(gè)方向上利用像素自相關(guān)特征進(jìn)行同或運(yùn)算來(lái)描述紋理特征的有監(jiān)督流形上的半色調(diào)分類(lèi)方法，利用圖像分塊的思想獲取紋理特征，目的在于提高建模效率和紋理特征的有效性。

　　以上方法都基于歐式空間，本文提出的方法需在黎曼空間上進(jìn)行特征匹配，再利用黎曼距離和局部概率密度來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)半色調(diào)圖像的分類(lèi)。黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，即有一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定協(xié)變的二階張量場(chǎng)在這個(gè)流形上，相比于歐式空間，具有更豐富的黎曼度量方法，是研究概率分布和模式匹配的有效工具。

1 傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣建模方法

　　通過(guò)多種半色調(diào)技術(shù)可將多級(jí)灰度圖像轉(zhuǎn)化為半色調(diào)圖像樣本，并對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)。12種常用半色調(diào)技術(shù)，如表1所示。圖1給出相應(yīng)的12幅灰度圖像產(chǎn)生的半色調(diào)圖像（以lena（大?。?56×256）為例）。由圖1可知，不同半色調(diào)技術(shù)產(chǎn)生的半色調(diào)圖像具有不同的紋理特征。一些半色調(diào)圖像紋理比較明顯，如圖1中的（a）、（g）、（h）、（i）子圖；另一些紋理差別不明顯，分類(lèi)較困難，如圖1中（b）、（c）、（e）和（l）子圖難以區(qū)分，子圖（d）、（f）、（j）和（k）區(qū)別也較小。由分析可知，造成半色調(diào)圖像分類(lèi)錯(cuò)誤率高的最主要原因是紋理差別不明顯。因此，本文在半色調(diào)圖像上對(duì)協(xié)方差矩陣改進(jìn)之后再進(jìn)行構(gòu)建與分類(lèi)。

　　協(xié)方差矩陣[13-14]（Covariance matrix，COV）是概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)概念，通過(guò)不同維度計(jì)算協(xié)方差構(gòu)成的矩陣，衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的變化。協(xié)方差矩陣表示一個(gè)多維隨機(jī)變量各個(gè)維度之間的相關(guān)性。協(xié)方差矩陣于2006年被Tuzel O，Porikli F[15]作為描述子最先應(yīng)用在醫(yī)學(xué)圖像處理的目標(biāo)檢測(cè)中，能夠很好地描述圖像，因?yàn)閷⑵溆糜趫D像特征提取時(shí)，將區(qū)域圖像不同的特征值通過(guò)統(tǒng)計(jì)矢量的方式統(tǒng)一于協(xié)方差矩陣中。COV作為描述子具有很好的魯棒性，對(duì)外部形態(tài)和光照的改變能很好地維持其主要特征的不變性，所以可將COV應(yīng)用于半色調(diào)圖像的特征提取中[16]。

　　COV定義如下：

　　設(shè)I為一維強(qiáng)度或三維強(qiáng)度的彩色圖像，f為原圖I內(nèi)具有M×N個(gè)像素的區(qū)域圖像，h為該區(qū)域f內(nèi)提取的d維特征向量，如式（1）所示：

　　將區(qū)域f每個(gè)像素的特征向量通過(guò)共生關(guān)系統(tǒng)一到協(xié)方差矩陣C中，如式（2）所示：

　　其中，h（x，y）為區(qū)域矩陣每個(gè)元素的特征向量，u為M×N個(gè)dx1維特征向量h（x，y）的均值，h（x，y）表示區(qū)域圖像每個(gè)像素的底層特征，如式（3）所示：

　　h（x，y）=[|fxx|，|fyy|，|fx|，|fy|，f（x，y）]T（3）

　　式（2）中C（f）為協(xié)方差矩陣，融合了原始圖像底層的五個(gè)特征，等價(jià)于公式（4）：

　　C（f）=HHT（4）

　　由公式（1）~（4）可知，COV能夠較好地表示圖像的特征，且具有如下優(yōu)點(diǎn)：

　?。?）很好的辨識(shí)度。能夠?qū)^(qū)域圖像多種特征融合于COV中。

　　（2）更低的維數(shù)。COV是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的半正定矩陣，所以d維的特征向量構(gòu)成的協(xié)方差矩陣具有（d2+d）/2個(gè)不同值。

　?。?）很好的魯棒性。將一幅圖像旋轉(zhuǎn)后，若選取的特征適當(dāng)，則形成的COV不發(fā)生相應(yīng)的改變。

　　2 改進(jìn)的協(xié)方差矩陣建模方法

　　COV雖然有很多優(yōu)點(diǎn)，但也存在不足。由公式（2）可知，當(dāng)h（x，y）=u時(shí)，協(xié)方差矩陣的行列式有可能為0，所以準(zhǔn)確地講，協(xié)方差矩陣應(yīng)屬半正定矩陣，針對(duì)該問(wèn)題可采用附加一個(gè)足夠小的對(duì)角矩陣p來(lái)進(jìn)行預(yù)處理。

　　可以看到，圖1中12幅半色調(diào)圖像的紋理不明顯，分類(lèi)較困難。針對(duì)這一難點(diǎn)，可將半色調(diào)圖像求梯度，即通過(guò)梯度信息來(lái)描述圖像中物體的邊緣、輪廓、形狀等紋理特征。對(duì)圖像加入水平邊緣算子[-1，0，1]和垂直邊緣算子[-1，0，1]T，并將該特征加入?yún)f(xié)方差矩陣的底層特征中。所以提出改進(jìn)的協(xié)方差矩陣（Improved covariance matrix，ICM）。

　　本文獲取區(qū)域半色調(diào)圖像f的底層特征如公式（5）所示，通過(guò)公式（2）將其構(gòu)成COV。

　　h（x，y）=[x，y，|fx|，|fxx|，|fy|，|fyy|，f（x，y），

　　其中，x，y分別為區(qū)域半色調(diào)圖像的坐標(biāo)值，f（x，y）設(shè)定以位置（x，y）為中心的n×n（實(shí)驗(yàn)中n取9）鄰域各個(gè)像素值之和，|fx|、|fxx|為像素值在x方向的一階、二階導(dǎo)，|fy|、|fyy|為像素值在y方向的一階、二階導(dǎo)。arctan|fy|/（|fx|+p）為f（x，y）在位置（x，y）處的梯度。由于協(xié)方差矩陣的行列式有可能為0，所以添加一個(gè)無(wú)窮小量。S1（x，y）=（|Ix|*|Ix|+|Iy|*|Iy|+|fx|*|fx|+|fy|*|fy|），其中Ix為水平邊緣梯度，Iy為垂直邊緣梯度。S2（x，y）=arctan|Iy|/（|Ix|+p）。圖2為對(duì)應(yīng)圖1中ICM特征圖像示例圖。由圖2可知，各矩陣的特征圖都有一定的差別，這說(shuō)明提取的特征矩陣可用于描述半色調(diào)圖像。即加入梯度算子后，圖像的輪廓明顯變得更清晰。將梯度算子加入COV的底層特征后，特征更明顯，更容易區(qū)分圖像的紋理信息。ICM算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

　　算法：ICM算子的構(gòu)造

　　輸入：一幅大小為M×N的區(qū)域半色調(diào)圖像f

　　輸出：能夠表征原始半色調(diào)圖像的改進(jìn)協(xié)方差矩陣

　　Step1 根據(jù)公式（5）獲取區(qū)域半色調(diào)圖像的十個(gè)底層特征，分別是x，y，|fx|，|fxx|，|fy|，|fyy|，f（x，y），arctan|fy|/（|fx|+p），S1（x，y），S2（x，y）；

　　Step2根據(jù)公式（2）計(jì)算區(qū)域半色調(diào)圖像f的協(xié)方差 矩陣C（f）。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及比較

　　3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

　　本實(shí)驗(yàn)在Windows 7操作系統(tǒng)環(huán)境下進(jìn)行，采用VC6.0結(jié)合OpenCV 1.0及MATLAB 7.11進(jìn)行編程。常用半色調(diào)圖像由VC6.0結(jié)合OpenCV 1.0產(chǎn)生，ICM特征的提取使用MATLAB 7.11生成。

　　3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　對(duì)原始圖像產(chǎn)生12類(lèi)常用半色調(diào)圖像庫(kù)，對(duì)每類(lèi)隨機(jī)取出410幅樣本（大小為256×256）。對(duì)每幅圖像提取ICM特征，之后從每類(lèi)410個(gè)協(xié)方差矩陣的特征中隨機(jī)抽取205個(gè)作為訓(xùn)練樣本，剩余205個(gè)作為測(cè)試樣本。為驗(yàn)證提出方法的有效性，取相同K值不同類(lèi)型的特征矩陣在黎曼流形上采用K最近鄰分類(lèi)器對(duì)紋理特征進(jìn)行分類(lèi)?，F(xiàn)取K=23，應(yīng)用傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣與本文提出方法對(duì)隨機(jī)取出的410×12幅圖像進(jìn)行分類(lèi)，比較其分類(lèi)精度如表2和表3所示。

　　由表2可知，采用傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣對(duì)12類(lèi)常用的半色調(diào)圖像的平均分類(lèi)正確率為83.487 5%，由表3可知，提出方法對(duì)12類(lèi)常用半色調(diào)圖像的平均分類(lèi)正確率為92.598 3%。比較表明，本文所提出的方法有所改善。

　　3.3 參數(shù)影響

　　對(duì)于多類(lèi)別（類(lèi)別數(shù)大于2）投票時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)兩種或多種類(lèi)別票數(shù)相同問(wèn)題，這種情況下分類(lèi)器取K個(gè)近鄰值中最小值對(duì)應(yīng)的類(lèi)別為最終類(lèi)別。分類(lèi)結(jié)果性能采用平均分類(lèi)錯(cuò)誤率（公式（7））和分類(lèi)錯(cuò)誤方差率（公式（8））來(lái)評(píng)價(jià)，其中公式（6）為錯(cuò)誤分類(lèi)率。平均分類(lèi)錯(cuò)誤率越小說(shuō)明分類(lèi)效果越好，分類(lèi)錯(cuò)誤方差率越小說(shuō)明分類(lèi)器越穩(wěn)定。

　　其中，nj為測(cè)試樣本總數(shù)，mj為正確分類(lèi)樣本數(shù)，N為總的類(lèi)別數(shù)（N=12），j為類(lèi)別數(shù)，j=1，2，…，12。

　　本實(shí)驗(yàn)測(cè)試不同K值對(duì)相同類(lèi)型的影響。由12類(lèi)常用半色調(diào)圖像變更不同的K值，分別取11，15，19，23，27，31，35七個(gè)值來(lái)比較傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣和提出方法提取特征矩陣對(duì)其進(jìn)行eave和v比較，折線圖比較如圖3和圖4所示。由圖3可知，常用12類(lèi)半色調(diào)圖像的分類(lèi)中，COV在K=19時(shí)分類(lèi)效果最好，ICM在K=23時(shí)分類(lèi)效果最好。但不管K為何值，提出方法效果均優(yōu)于COV。由圖4的v折線圖可知，COV在K=23時(shí)分類(lèi)器最穩(wěn)定，ICM在K=27時(shí)v最小，此時(shí)的分類(lèi)器性能最穩(wěn)定。不管K為何值，本文提出方法的分類(lèi)器更穩(wěn)定。由此證明，提出方法的有效性。

4 總結(jié)

　　針對(duì)12類(lèi)常用半色調(diào)圖像的分類(lèi)問(wèn)題，對(duì)半色調(diào)圖像的特征建模和分類(lèi)方法進(jìn)行了深入研究，提出對(duì)傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)，并用黎曼流形上的K最近鄰方法對(duì)提取出的特征矩陣進(jìn)行分類(lèi)。通過(guò)比較分類(lèi)精度來(lái)驗(yàn)證提出方法的有效性。實(shí)驗(yàn)證明，將傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣與提出方法進(jìn)行eave和v比較，可知提出方法在K=23時(shí)，eave最低，即分類(lèi)效果最好；在K=27時(shí)，v最小，即分類(lèi)器性能最穩(wěn)定，所以在選擇K值時(shí)應(yīng)視需求而定。

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