0 引言

    目前，集成電路的設(shè)計(jì)工藝已經(jīng)進(jìn)入深亞微米階段，工藝水平大幅度提高，計(jì)算機(jī)微處理器也不斷更新?lián)Q代。在微處理系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)類型分為定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)，相對(duì)于定點(diǎn)數(shù)的有限范圍及有限精度，浮點(diǎn)數(shù)可以靈活地表示更大范圍及更高精度的實(shí)數(shù)，由于以上原因，浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算成為微處理器以及信號(hào)處理系統(tǒng)中的重要部件之一。但同時(shí)相對(duì)于定點(diǎn)數(shù)而言，浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算需要更復(fù)雜的硬件電路，消耗更大的面積及能量，因此為數(shù)據(jù)范圍的拓寬帶來(lái)了能量及面積上的消耗。傳統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)大多運(yùn)用精確計(jì)算算法，但對(duì)于一些圖像處理的可容錯(cuò)應(yīng)用，這些系統(tǒng)并不需要絕對(duì)的精確性。所以將非精確運(yùn)算^[1]運(yùn)用到這些系統(tǒng)中可以減小能量損耗及電路面積，同時(shí)也可提高系統(tǒng)的性能。

    非精確的算法設(shè)計(jì)作為減少容錯(cuò)設(shè)備的動(dòng)態(tài)及靜態(tài)能量損耗的有效方法，它的主要思想是通過(guò)減小硬件的復(fù)雜度來(lái)提高系統(tǒng)的性能及效率。目前非精確計(jì)算主要集中在定點(diǎn)數(shù)的研究^[2-5]，文獻(xiàn)[2]中非精確處理器犧牲了7.58%的相對(duì)錯(cuò)誤率，但速度、面積比精確處理器速度提高了將近15倍，能量損耗也減少了將近15倍。研究表明運(yùn)用非精確算法設(shè)計(jì)出的芯片面積更小，速度更快，能量損耗更低。雖然定點(diǎn)數(shù)在非精確研究方面取得了較成功的應(yīng)用，但相對(duì)于定點(diǎn)數(shù)而言，目前對(duì)非精確浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的研究并不多。由于浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算電路更復(fù)雜，能量也消耗更多，非精確浮點(diǎn)數(shù)算法的研究顯得尤為重要。

    文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了一種非精確的浮點(diǎn)數(shù)加法器，該設(shè)計(jì)通過(guò)將低位部分精確加法替代為或門(mén)算法實(shí)現(xiàn)非精確運(yùn)算；文獻(xiàn)[6]研究了一種低功耗的浮點(diǎn)數(shù)乘法器，該研究通過(guò)直接截?cái)喔↑c(diǎn)數(shù)的數(shù)值位來(lái)減少硬件；文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種高效率的浮點(diǎn)數(shù)乘法器；文獻(xiàn)[8]利用低精度浮點(diǎn)數(shù)來(lái)減小MP3解碼時(shí)的內(nèi)存損耗。

    本文提出了一種非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器的算法設(shè)計(jì)，同時(shí)將該算法應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)范圍圖片的圖像處理中，并將結(jié)果與精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器的應(yīng)用結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。文章內(nèi)容分布如下：在第1節(jié)中，首先簡(jiǎn)單介紹了浮點(diǎn)數(shù)構(gòu)成及精確的浮點(diǎn)數(shù)乘法器的結(jié)構(gòu)；在第2節(jié)中提出了非精確乘法器的設(shè)計(jì)方法；在第3節(jié)中將該非精確乘法器應(yīng)用到高動(dòng)態(tài)范圍圖片中；最后總結(jié)了該設(shè)計(jì)算法。

1 背景簡(jiǎn)介

1.1 浮點(diǎn)數(shù)表示方法

    在算數(shù)運(yùn)算中，數(shù)據(jù)的表示方法有兩個(gè)，定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)。定點(diǎn)數(shù)可以表示以0為中心的一定范圍的正負(fù)整數(shù)，由于定點(diǎn)數(shù)小數(shù)點(diǎn)固定，不能表示太大動(dòng)態(tài)范圍的數(shù)，同時(shí)也不能表示過(guò)大或過(guò)小的數(shù)，此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)了出來(lái)，它可以在不增加位數(shù)的前提下擴(kuò)展數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)范圍。

    在IEEE 754-2008標(biāo)準(zhǔn)中，浮點(diǎn)數(shù)是一個(gè)以3個(gè)量表示的二進(jìn)制位串(如圖1所示)，該位串分為3個(gè)部分：符號(hào)位部分、指數(shù)位部分和尾數(shù)位部分。

    浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：

其中，S為符號(hào)位，當(dāng)S=0時(shí)表示該浮點(diǎn)數(shù)是一個(gè)正值，當(dāng)S=1時(shí)表示該浮點(diǎn)數(shù)是一個(gè)負(fù)值；E為指數(shù)位，bias表示偏移量，對(duì)于單精度bias=127，雙精度bias=1023，則E-bias既可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù)；M為尾數(shù)位，對(duì)于規(guī)格化的尾數(shù)，存儲(chǔ)時(shí)默認(rèn)省去小數(shù)點(diǎn)前的1，則對(duì)于非零尾數(shù)，尾數(shù)值為1.M。

1.2 精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器

    最初的浮點(diǎn)數(shù)乘法器是依靠軟件實(shí)現(xiàn)的，但隨著超大規(guī)模集成技術(shù)的發(fā)展以及乘法器對(duì)計(jì)算速度要求的提高，乘法運(yùn)算逐漸變成一個(gè)硬件的部件，浮點(diǎn)數(shù)乘法的基本原理是將相乘兩數(shù)的指數(shù)和作為乘積的指數(shù)，相乘兩數(shù)尾數(shù)的積作為乘積的尾數(shù)，相乘兩數(shù)的符號(hào)位異或作為乘積符號(hào)位。

    精確的浮點(diǎn)數(shù)乘法器如圖2所示，默認(rèn)這里兩個(gè)操作數(shù)都已規(guī)格化，如若沒(méi)有，則首先需將輸入的操作數(shù)規(guī)格化。然后從兩操作數(shù)中分別提取每個(gè)操作數(shù)的符號(hào)位、指數(shù)位及尾數(shù)位，并將尾數(shù)位補(bǔ)充省略的第一位1。浮點(diǎn)數(shù)的乘法只要包括兩個(gè)運(yùn)算：指數(shù)的加法和尾數(shù)的乘法，這兩運(yùn)算結(jié)束后就是將結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化，生成符合IEEE 754-2008標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)果。

2 非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器設(shè)計(jì)

    非精確乘法器的設(shè)計(jì)是基于圖2所示的精確計(jì)算的算法級(jí)設(shè)計(jì)，主要是將非精確定點(diǎn)數(shù)乘法器運(yùn)用到浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)乘法設(shè)計(jì)中，同時(shí)考慮到尾數(shù)乘積已是非精確結(jié)果，舍入單元及規(guī)格化也進(jìn)行了簡(jiǎn)化。

2.1 尾數(shù)乘法器

    尾數(shù)乘法器就是計(jì)算兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)部分的乘積，也就是兩個(gè)無(wú)符號(hào)定點(diǎn)數(shù)的乘法，主要包括3個(gè)部分：部分積的生成、部分積壓縮及最終結(jié)果的生成。本文部分積通過(guò)非精確Booth編碼^[9]生成，部分積壓縮通過(guò)非精確4-2壓縮器^[10]及Wallace樹(shù)^[11]完成。對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)，尾數(shù)的乘法是無(wú)符號(hào)定點(diǎn)24×24位的乘法器，修正Booth編碼產(chǎn)生了13個(gè)部分積；4-2壓縮器、Wallace樹(shù)以及進(jìn)位存儲(chǔ)加法器將部分積壓縮成2個(gè)操作數(shù)；最后48位和進(jìn)位采用快速超前進(jìn)位加法器相加。

    非精確Booth編碼是在修正Booth編碼算法上改進(jìn)的，修正Booth編碼算法的門(mén)級(jí)電路如圖3(a)所示，式(2)給出了部分積（Partial Products，PP）與輸入之間的關(guān)系。非精確Booth編碼的門(mén)級(jí)電路如圖3(b)所示，式(3)給出了部分積與輸入之間的關(guān)系。

    部分積的壓縮通過(guò)4-2壓縮器實(shí)現(xiàn)，非精確壓縮器是在精確4-2壓縮器上改進(jìn)得到，精確4-2壓縮器的實(shí)現(xiàn)方法如圖4(a)所示，式(4)~式(6)給出了壓縮結(jié)果與部分積輸入之間的關(guān)系。非精確4-2壓縮器的實(shí)現(xiàn)方法如圖4(b)所示，式(7)~式(8)給出了壓縮結(jié)果與部分積輸入之間的關(guān)系。

    以單精度浮點(diǎn)數(shù)為例，非精確尾數(shù)乘法器的Wallace樹(shù)結(jié)構(gòu)如圖5所示，由于最終標(biāo)準(zhǔn)化后只取乘積的前24位，所以進(jìn)行24×24乘法時(shí)0~23位的計(jì)算直接舍去，24~42位進(jìn)行非精確計(jì)算，43~47位進(jìn)行精確計(jì)算，圖5中實(shí)線框中進(jìn)行非精確Booth編碼及非精確壓縮，虛線框進(jìn)行精確Booth編碼及精確壓縮。

2.2 舍入單元

    舍入單元的作用是在結(jié)果被返回放回浮點(diǎn)格式時(shí)，將多出來(lái)的位舍棄，使得有效數(shù)據(jù)的位數(shù)保持在固定的位數(shù)范圍內(nèi)。在精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器中，IEEE列出了4種不同的舍入方法：舍入到最近(Round To Nearest，RTN)、朝正無(wú)窮大方向舍入(Round To Positive Infinity，RTPI)、朝負(fù)無(wú)窮大方向舍入(Round To Negative Infinity，RTNI)、朝0方向舍入(Round To Zero，RTZ)。在非精確設(shè)計(jì)中，乘積結(jié)果已是非精確的，舍入方法的選擇對(duì)算法沒(méi)有太大意義，所以在非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器中，舍入單元將不再考慮。

2.3 非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器結(jié)構(gòu)

    基于以上分析，非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器可以通過(guò)設(shè)計(jì)非精確無(wú)符號(hào)定點(diǎn)數(shù)乘法器、簡(jiǎn)化規(guī)格化處理及省略舍入單元來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體結(jié)構(gòu)如圖6所示。

3 圖像處理應(yīng)用

    很多非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法都應(yīng)用于圖像處理中， OpenEXR是由Industrial Light and Magic開(kāi)發(fā)的高動(dòng)態(tài)范圍圖片(High Dynamic-Range，HDR)的文件格式，它支持16位及32位浮點(diǎn)。本文采用高動(dòng)態(tài)范圍圖片來(lái)驗(yàn)證該非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器的有效性。高動(dòng)態(tài)范圍可視區(qū)分度檢測(cè)(High Dynamic Range Visible Difference Predictor，HDR-VDP)是度量?jī)煞鶊D片區(qū)別的方法，它可以檢測(cè)兩幅圖片的可視區(qū)別。圖7、圖8分別為精確、非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法生成圖片，兩幅圖片的區(qū)別檢測(cè)圖如圖9所示。

    HDR-VDP中整體可視檢測(cè)中定義了兩個(gè)度量方法，一個(gè)為P_det，定義為兩幅圖片的可視區(qū)別概率，它的范圍為0~1，數(shù)值越大，說(shuō)明兩圖片的區(qū)別人眼越容易察覺(jué)；另一度量方法是Q_MOS，它定義為圖片的平均觀測(cè)質(zhì)量，它的范圍是0~100，數(shù)值越大說(shuō)明圖片質(zhì)量越好。經(jīng)測(cè)量本文設(shè)計(jì)的非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器的兩個(gè)度量值分別為：

    度量值P_det表明兩幅圖片的差異不太容易被檢測(cè)，度量值Q_MOS表明兩幅圖片質(zhì)量很好。

4 結(jié)論

    本文主要采用非精確定點(diǎn)尾數(shù)乘法器設(shè)計(jì)非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器，并將該乘法器運(yùn)用到圖像處理中，結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的非精確浮點(diǎn)數(shù)乘法器具有很好的性能。

參考文獻(xiàn)

[1] PALEM K，INGAMNENI A.Ten years of building broken-chips:the physics and engineeringofinexact  computing[J].ACMTrans.Embedded Computing Systems，2013，12(2)，87：1-23.

[2] LINGAMNENI A，MUNTIMADUGU A，ENZ C，et al.Algorithmic methodologies for ultra-efficient inexact architectures for sustaining technology scaling[J].Proc.ACM Int.Conf.Computing Frontiers，2012：3-12.

[3] YANG Z，JAIN A，LIANG J，et al.Approximate XOR XNOR-based Adders for inexact computing[J].Proc.13rd IEEE Conf.Nanotechnol.(IEEE-NANO)，2013：690-693.

[4] Liu Weiqiang，Chen Linbin，Wang Chenghua，et al.Design and analysis of inexact floating-point adders[J].IEEE Transactions on Computers，2016，65(1)：308-314.

[5] Liu Weiqiang，Chen Linbin，WANG C，et al.Inexact Floating-Point Adder for Dynamic Image Processing[J].Proceedings of the 14th IEEEInternational Conference on Nano-technology Toronto，Canada，2014.

[6] TONG J Y，NAGLE D，RUTENBAR R.Reducing power byoptimizingthe necessary precision/rangeof floating-point arithmetic[J].IEEE Trans.Very Large Scale Integr.Syst.2000，8：273-286.

[7] GUPTA A，MANDAVALLI S，MOONEY V，et al.Low power probabilistic floatingpoint multiplier design[J].Proc.IEEE Comput.Soc.Annu.Symp.VLSI，2011：182-187.

[8] EILERT J，EHLIAR A，LIU D.Using low  precision  floating point  numbers  to  reduce  memory  cost  for  MP3 decoding[J].Proc. 6th IEEE Workshop on Multimedia Signal Processing，2004：119-122.

[9] YEH W C，JEN C W.High-speed booth encoded parallel multiplier design[J].IEEE Trans.Computers，2000，49(7)：692-701.

[10] Amir Momeni，Jie Han，Paolo Montuschi，et al.Design and analysis of approximate compressor for multilication[J].IEEE Trans.Computers，2015，64(4)：984-994.

[11] MILLAR B，MADRID P E，SWARTZLANDER E E.A fast hybrid multiplier combining Booth and Wallace/Dadda algorithms[J].Proceedings of the 35th MidwestSymposium on Circuits and Systems，1992，1(8)：158-165.