朱艷平

　　（信陽(yáng)農(nóng)林學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）

　　摘要：混沌系統(tǒng)在圖像和視頻加密方面的應(yīng)用研究日益增多。為了篩選出更適合應(yīng)用于信息加密的混沌系統(tǒng)，對(duì)一維Logistic系統(tǒng)、四維廣義Henon系統(tǒng)、三維Lorenz系統(tǒng)、三維Rossler系統(tǒng)、四維Chen系統(tǒng)和四維CNN系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行比較，并提出密鑰變化率的計(jì)算方法，以此為指標(biāo)來(lái)衡量各混沌系統(tǒng)的密鑰敏感性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，CNN系統(tǒng)表現(xiàn)出更為優(yōu)越的混沌動(dòng)力學(xué)行為特性，更適合應(yīng)用于信息加密系統(tǒng)中。

　　關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)；性能比較；自相關(guān)性；互相關(guān)性；密鑰變化率

　　0引言

　　在網(wǎng)絡(luò)帶給人們便利的同時(shí)，人們?cè)絹?lái)越重視信息的安全性。隨著圖像、語(yǔ)音和視頻應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，傳統(tǒng)的加密方法已不能滿足信息加密的需求，于是混沌加密逐漸成為研究的熱點(diǎn)［1］。

　　混沌系統(tǒng)由于其遍歷性、內(nèi)隨機(jī)性、分形結(jié)構(gòu)、對(duì)初始值的敏感性、軌道不穩(wěn)定性以及長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性等特點(diǎn)，使其更適合應(yīng)用于加密系統(tǒng)中［24］。目前應(yīng)用于信息加密的混沌系統(tǒng)有很多，本文從混沌吸引子、混沌信號(hào)、自相關(guān)性、互相關(guān)性、密鑰敏感性和密鑰空間六個(gè)方面對(duì)各種混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行比較，從而篩選出更適合應(yīng)用于信息加密的混沌系統(tǒng)。

1各混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

　　Logistic 系統(tǒng)的方程如式(1)所示［5］，當(dāng)3.569 946…≤u≤4時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這里取u=3.9。

　　xn+1=uxn(1－xn)x0∈(0,1)u∈(0,4］(1)

　　四維廣義Henon混沌映射的數(shù)學(xué)模型如式(2)所示［1］，其中a=1.76，b=0.1時(shí)，該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

　　x1(k+1)=a－x3(k)2－bx4(k)

　　x2(k+1)=x1(k)

　　x3(k+1)=x2(k)

　　x4(k+1)=x3(k)(2)

　　Lorenz混沌系統(tǒng)的微分方程如式(3)所示［6］，當(dāng)σ=10，ρ=28，β=8/3時(shí)，該系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。

　　=－σx+σy

　　=ρx－y－xz

　　=－βz+xy(3)

　　Rossler系統(tǒng)的微分方程如式(4)所示［2］，當(dāng)a=b=0.2，c在4.2與9之間時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這里取c=5。

　　=－y－z

　　=x+ay

　　=b+z(x－c)(4)

　　四維超混沌Chen系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式(5)所示 ［7］ ，當(dāng)a=35，b=7，c=12，d=3，0.085≤γ≤0.789時(shí)，該系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)，這里γ的取值為0.5。

　　1=a(x2－x1)+x4

　　2=bx1－x1x3+cx4

　　3=x1x2－dx3

　　4=x2x3+γx4(5)

　　選擇合適的模板參數(shù)，四維CNN超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式(6)所示［8］：

　　1=－x3－x4

　　2=2x2+x3

　　3=12x1－13x2

　　4=96x1－90x4+198f(x4)(6)

2各混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為特性比較

　　2.1混沌吸引子

　　上述六種系統(tǒng)均可產(chǎn)生混沌吸引子，均為混沌系統(tǒng)，其中四維Henon系統(tǒng)、四維Chen系統(tǒng)和四維CNN系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)，此處不再贅述。

　　2.2混沌信號(hào)

　　以混沌信號(hào)x1為例，各系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)如圖1所示，其中Logistic系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(a)所示， Henon系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(b)所示，Lorenz系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(c)所示，Rossler系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(d)所示，Chen系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(e)所示，CNN系統(tǒng)的混沌信號(hào)如圖1(f)所示。

　　圖1各系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)從圖1可以看出，Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)呈現(xiàn)勻均分布的態(tài)勢(shì)，而Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和CNN系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)隨機(jī)特性不強(qiáng)，呈現(xiàn)局部現(xiàn)行化特點(diǎn)，容易受AR 模型預(yù)測(cè)和相空間重構(gòu)法的攻擊。為了解決該問(wèn)題，參考文獻(xiàn)［9］采用公式（7）對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行處理，使其變成均勻分布。其中si為原始的混沌信號(hào)，s*i為處理后的混沌信號(hào)，round表示四舍五入取整操作。

　　s*i=si×102－round(si×102)(7)

　　2.3自相關(guān)性

　　以信號(hào)x1為例進(jìn)行仿真研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：Logistic系統(tǒng)x1的自相關(guān)性在0.33~0.37的范圍內(nèi)趨近于0；Henon系統(tǒng)在0~0.4的范圍內(nèi)趨近于0；Lorenz系統(tǒng)在-20~40的范圍內(nèi)趨近于0；Rossler系統(tǒng)在-14~14的范圍內(nèi)趨近于0；Chen系統(tǒng)在-20~20的范圍內(nèi)趨近于0；CNN系統(tǒng)在-0.75~0.9的范圍內(nèi)趨近于0。故各混沌系統(tǒng)的自相關(guān)性從優(yōu)到劣的順利為：Logistic系統(tǒng)、Henon系統(tǒng)、CNN系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)。

　　2.4互相關(guān)性

　　以信號(hào)x1和x2為例進(jìn)行仿真研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：由于Logistic系統(tǒng)只有一路混沌信號(hào)，故無(wú)法對(duì)混沌信號(hào)的互相關(guān)性進(jìn)行分析。Henon系統(tǒng)x1和x2的互相關(guān)性在0~0.4的范圍內(nèi)趨近于0；Lorenz系統(tǒng)在-20~40的范圍內(nèi)趨近于0；Rossler系統(tǒng)在-14~14的范圍內(nèi)趨近于0；Chen系統(tǒng)在-20~20的范圍內(nèi)趨近于0；CNN系統(tǒng)在-0.5~0.5的范圍內(nèi)趨近于0。故各混沌系統(tǒng)的互相關(guān)性從優(yōu)到劣的順序?yàn)椋?Henon系統(tǒng)、CNN系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)。

　　2.5密鑰敏感性

　　密鑰敏感性分為初始值密鑰敏感性和模板參數(shù)密鑰敏感性。以密鑰變化率KCR(Key Change Rate)為指標(biāo)對(duì)各混沌系統(tǒng)的密鑰敏感性進(jìn)行分析，按下式計(jì)算密鑰的變化率：

　　KCR=∑ki=1Dif(key(i),key′(i))k

　　Dif(key(i),key′(i))=0key(i)=key′(i)

　　1key(i)≠key′(i)(8)

　　上式中的key(i)表示原密鑰所生成的第i個(gè)混沌序列值，key′(i)表示將原密鑰作微小的改變后所生成的第i個(gè)混沌序列值，k表示所生成的混沌序列值的個(gè)數(shù)。KCR的值越大，表示該系統(tǒng)的密鑰敏感性越強(qiáng)，反之越弱。將各混沌系統(tǒng)的各個(gè)初始值密鑰作微小的改變，使其相差10-16，取24 000*n個(gè)混沌值進(jìn)行計(jì)算，所得的密鑰變化率如表1所示，其中n為混沌系統(tǒng)的維數(shù)。

　　從表1可以看出，各混沌系統(tǒng)的初始值密鑰敏感性從優(yōu)到劣的順序?yàn)椋篊hen系統(tǒng)、CNN系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)。模板參數(shù)密鑰敏感性分析與此類似，此處不再贅述。

　　2.6密鑰空間

　　若計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的實(shí)現(xiàn)精度為16位有效數(shù)字，則各混沌系統(tǒng)的密鑰空間如下：一維Logistic系統(tǒng)為1032，四維Henon系統(tǒng)為1096，三維Lorenz系統(tǒng)為1096，三維Rossler系統(tǒng)為1096，四維Chen系統(tǒng)為10144，四維CNN系統(tǒng)為10640。從以上數(shù)據(jù)可知，四維CNN系統(tǒng)的密鑰空間最大，一維Logistic系統(tǒng)的密鑰空間最小。

3結(jié)論

　　本文從混沌吸引子、混沌信號(hào)、自相關(guān)性、互相關(guān)性、密鑰敏感性和密鑰空間六個(gè)方面對(duì)各混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行比較。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，CNN系統(tǒng)具有密鑰空間最大、密鑰敏感性強(qiáng)、自相關(guān)性和互相關(guān)性較好的優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是混沌信號(hào)不能呈現(xiàn)均勻分布，但可采用參考文獻(xiàn)［9］的方法進(jìn)行處理，以彌補(bǔ)其不足。綜合分析，CNN超混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的混沌動(dòng)力學(xué)行為特征，更適合應(yīng)用于混沌加密系統(tǒng)中。

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