黨超，劉鋒，曾連蓀

　　（上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306）

　　摘要：應(yīng)用信號(hào)對(duì)齊方法研究了多輸入多輸出雙向中繼3×2 X信道的自由度問(wèn)題，并分析了其天線配置條件。然而，對(duì)于更一般的多用戶X信道，隨著用戶數(shù)的增加，應(yīng)用這一方案所需要的天線數(shù)也會(huì)迅速增加，在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。為緩解這一問(wèn)題，該文進(jìn)一步提出了基于時(shí)間擴(kuò)展的解決方案。

　　關(guān)鍵詞：自由度；信號(hào)對(duì)齊；時(shí)間擴(kuò)展

0引言

　　*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61271283）；上海教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目（14YZ113）自由度表征了通信信道的傳輸能力。最基本的2×2 X 信道的自由度上界被證明是4A/3［1］，對(duì)于一般的M×N X 信道，自由度上界是AMN/(M+N－1) ［2］，這里A表示每個(gè)終端的天線數(shù)。雙向通信模型很早被香農(nóng)所提出［3］，并在無(wú)線中繼網(wǎng)絡(luò)中得到應(yīng)用。在三用戶MIMO Y 信道模型中應(yīng)用信號(hào)對(duì)齊的方案，自由度可以在N≥3M/2時(shí)達(dá)到3M，這里N和M分別代表中繼和終端的天線數(shù)［4］。本文將利用信號(hào)對(duì)齊結(jié)合網(wǎng)絡(luò)編碼的方案來(lái)分析應(yīng)用雙向中繼3×2 X 信道的自由度問(wèn)題，并進(jìn)一步研究了一般情況下的實(shí)現(xiàn)方案。其中關(guān)于多值信號(hào)檢測(cè)［5］、迫零矢量的設(shè)計(jì)已有很多論文涉及［6］，網(wǎng)絡(luò)編碼的方法也早已被提出［7］，此處不做深入介紹，而只應(yīng)用其結(jié)論。

1信道模型

　　如圖1所示，在多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output, MIMO）雙向中繼的3×2 X信道中，左側(cè)三個(gè)終端希望分別傳送一個(gè)消息給右側(cè)的兩個(gè)終端，同樣右側(cè)的兩個(gè)終端也要分別傳送一個(gè)消息給左側(cè)的三個(gè)終端圖1雙向中繼 3×2 X 信道，那么需要傳送的消息總數(shù)是12個(gè)。借助雙向中繼，本文利用MIMO技術(shù)在同一時(shí)頻資源上傳輸全部12個(gè)消息。假設(shè)左側(cè)終端的天線數(shù)為Ai，右側(cè)終端的天線數(shù)為Aj，中繼的天線數(shù)為AR。

　　模型說(shuō)明：任意兩個(gè)終端無(wú)法直接通信，只能通過(guò)中繼實(shí)現(xiàn)信息交流；所有的信道是準(zhǔn)靜態(tài)平坦的；信道元素取自具有零均值和單位方差的獨(dú)立同分布的復(fù)高斯分布；所有的終端和中繼都工作在全雙工模式下。

2信號(hào)對(duì)齊方案

　　整個(gè)方案的實(shí)現(xiàn)分為兩個(gè)過(guò)程：多址接入（Multiple Access, MAC）階段和廣播（Broadcast, BC）階段。首先，在MAC階段各終端把信號(hào)發(fā)送給中繼，在中繼處應(yīng)用信號(hào)對(duì)齊和網(wǎng)絡(luò)編碼的方法得到包含所有消息的網(wǎng)絡(luò)編碼消息，然后中繼在BC階段把這些編碼后的消息發(fā)送給各個(gè)終端，最后各終端利用自己發(fā)出的消息來(lái)得到期望消息。為了更方便地進(jìn)行分析，這里首先把各終端和中繼的天線數(shù)設(shè)定為Ai=3，Aj=4，AR=6，下面就這兩個(gè)階段作具體分析。

　　2.1MAC階段

　　在MAC階段，左側(cè)的三個(gè)終端Ti(i=1,2,3)分別沿波束成形矢量vj,i發(fā)送消息xj,i給右側(cè)的終端Tj(j=4,5)，同樣地，右側(cè)的終端也要沿波束成形矢量vi,j傳輸消息xi,j給左側(cè)終端。則中繼接收到：

　　yr=∑3i=1Hr,ixr,i+∑5j=4Hr,jxr,j+nr（1）

　　其中，Hr,i和Hr，j表示信道矩陣，nr表示具有零均值和單位方差的加性高斯白噪聲，同時(shí)有：

　　xr,i=∑5j=4vj,ixj,i(i=1,2,3)（2）

　　xr,j=∑3i=1vi,jxi,j(j=4,5)（3）

　　滿足功率約束條件E{tr［xr,ixHr,i］}≤Pi，E{tr［xr,jxHr,j］}≤Pj。

　　實(shí)現(xiàn)信號(hào)對(duì)齊的目的是把對(duì)發(fā)的消息對(duì)齊，形成一個(gè)包含兩個(gè)對(duì)發(fā)消息的疊加消息，從而降低中繼的維度要求，比如xr(1,4)=x1,4+x4,1。那么就要有：

　　span(Hr,1v4,1)=span(Hr,4v1,4)=span(ur(1,4))（4）

　　其中，span(A)表示由矩陣A的列向量張成的空間，而span(A)=span(B)代表了A和B所張成的子空間是相等的。要得到v1,4和v4,1，需要滿足下式：

　　這里ur(1,4)就是取自兩個(gè)信道矩陣的交叉空間的向量。而要保證上式中右側(cè)的列向量存在，就要保證左側(cè)的矩陣存在零空間，又因?yàn)樵摼仃囀?2×13的，那么它至少具有一維的零空間，即保證了ur(1,4)，v1,4和v4,1的存在。那么式(1)變?yōu)椋?/p>

　　yr=urxr+nr（6）

　　其中,ur=［ur(1,4)ur(1,5)ur(2,4)ur(2,5)ur(3,4)ur(3,5)］，xr=［xr(1,4)xr(1,5)xr(2,4)xr(2,5)xr(3,4)xr(3,5)］T。正如前面xr(1,4)=x1,4+x4,1，xr(1,5)=x1,5+x5,1，其他也是這樣，那么共有6個(gè)疊加的消息，而中繼有6條天線，所以有足夠的空間解得這6個(gè)疊加的消息。然后應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)編碼的方法，將解得的疊加消息重新編碼為新的發(fā)送消息r=［r(1,4)r(1,5)r(2,4)r(2,5)r(3,4)r(3,5)］T。下面只需把編碼后的消息發(fā)送給各終端，然后終端利用自己的邊信息解得期望消息，即相當(dāng)于一個(gè)廣播信道模型。

　　2.2BC階段

　　在BC階段要發(fā)送編碼后的消息，需要考慮如何設(shè)計(jì)各個(gè)消息的波束成形矢量。為了盡可能地避免非期望消息帶來(lái)的干擾，考慮如MAC階段的式(4)，設(shè)計(jì)信道對(duì)齊向量來(lái)對(duì)齊信道：

　　span(d1,4H1,r)=span(d4,1H4,r)=span(fr(1,4))(7)

　　由式(4)的推理過(guò)程，容易理解此式是成立的，詳細(xì)過(guò)程不再贅述。對(duì)齊所有的信道以后，可以得到：Fr=［fTr(1,4)fTr(1,5)fTr(2,4)fTr(2,5)fTr(3,4)fTr(3,5)］T，然后定義r(i,j)=Fr/fr(i,j)，表示在Fr中去除fr(i,j)后的矩陣。因?yàn)閞(i,j)是一個(gè)5×6的矩陣，存在零空間，那么就可以得到其零向量pr(i,j)null(r(i,j))。然后以pr(i,j)作為疊加消息r(i,j)的波束成形矢量，以Pr=［pr(1,4)pr(1,5)pr(2,4)pr(2,5)pr(3,4)pr(3,5)］作為消息向量的波束成形矩陣。而信道對(duì)齊向量構(gòu)成的矩陣為終端處的過(guò)濾矩陣，以終端1為例，它的過(guò)濾矩陣為D1=［dT1,4dT1,5］T。那么由此可知終端1收到的信號(hào)可表示為y1=H1,rPrr+n1，由于使用了過(guò)濾矩陣，則可將其轉(zhuǎn)化為：

　　這樣在終端1可以得到期望的疊加消息r(1,4)和r(1,5)，然后利用其自己的消息即可得到期望消息x1,4和x1,5。其他的終端也用類似方法得到其期望消息。

3天線配置條件

　　假設(shè)任意兩個(gè)相互通信的終端，每次通信的消息數(shù)為d，則有Ai≥2d，Aj≥3d，那么由割集理論可知，總的自由度：

　　dsum≤2min∑3i=1Ai,AR,∑5j=4Aj=2AR=12d

　　由此可知2AR=12d是一個(gè)上界，并且：

　　d14+d15+d24+d25+d34+d35=6d=AR

　　又由2.1節(jié)分析可知，應(yīng)有：

　　di,j≤Ai+Aj－AR

　　所以可得：

　　AR≤67(Ai+Aj)（9）

　　由上面的分析可知，各終端與中繼的天線數(shù)應(yīng)該滿足式（9）條件。

　　但是，當(dāng)終端數(shù)量較多時(shí)，需要通信的消息數(shù)很多，就要求中繼和終端的天線數(shù)急劇增加，而這在實(shí)際應(yīng)用中并不容易實(shí)現(xiàn)，除非采用大規(guī)模MIMO技術(shù)。考慮到空時(shí)轉(zhuǎn)換，下節(jié)介紹了基于時(shí)間擴(kuò)展的方案來(lái)緩解這一問(wèn)題。其基本思想是通過(guò)通信時(shí)隙的增加來(lái)降低對(duì)天線數(shù)的要求，基本方法仍然是信號(hào)對(duì)齊的方法。此方案盡管降低了單位時(shí)隙的自由度，但更容易實(shí)現(xiàn)。

4時(shí)間擴(kuò)展方案

　　圖2所示是一般的雙向中繼的M×N X 信道模型。左側(cè)M個(gè)終端都裝備有N條天線，而中繼和右側(cè)的N個(gè)終端都有M條天線，整個(gè)過(guò)程在N個(gè)時(shí)隙內(nèi)完成2MN個(gè)消息的傳輸。　

　　4.1MAC階段

　　以第一個(gè)時(shí)隙為例，在第一個(gè)時(shí)隙，右側(cè)終端TM+1分別向左側(cè)M個(gè)終端各發(fā)送一個(gè)消息xi,M+1(i=1,2,…,M)，共M個(gè)消息。而左側(cè)的M個(gè)終端Ti(i=1,2,…,M)分別發(fā)送它們的第一個(gè)消息xM+1,i給右側(cè)的終端TM+1。

　　其他時(shí)隙也類似，那么在時(shí)隙t，中繼收到的消息為：

　　中繼收到了2M個(gè)消息，要把它們對(duì)齊在M個(gè)維度中就要使得Hr,M+tvi,M+t=Hr,ivM+t,i成立，又因?yàn)镠r,M+t和Hr,i分別是M×M和M×N的，所以vi,M+t和vM+t,i是容易得到的。

　　4.2BC階段

　　如前面第2節(jié)所分析，這里中繼再把2M個(gè)消息對(duì)齊到M個(gè)維度后，得到網(wǎng)絡(luò)編碼后的消息，然后發(fā)送給各個(gè)終端。

　　這里右側(cè)終端有M條天線，與中繼的通信相當(dāng)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的通信，自然可以解得所有的消息。而對(duì)于左側(cè)的M個(gè)終端，每個(gè)終端只有一個(gè)期望信號(hào)，與中繼組成一個(gè)廣播信道，也可以得到其期望的疊加消息。最后，每個(gè)終端利用自己發(fā)出的消息即可得到期望消息。

　　所以在每一個(gè)時(shí)隙里面，右側(cè)的一個(gè)終端解得了M個(gè)消息，左側(cè)的M個(gè)終端都分別解得了一個(gè)消息，加起來(lái)也是M個(gè)消息。那么在N個(gè)時(shí)隙里面，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)共實(shí)現(xiàn)了2MN個(gè)消息的通信。

5結(jié)論

　　針對(duì)雙向中繼3×2X信道，詳細(xì)分析了信號(hào)對(duì)齊方案的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并且得到了較高的自由度，同時(shí)也分析了該方案的限制條件。結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，對(duì)于一般多用戶的X信道，本文提出了時(shí)間擴(kuò)展的方案，通過(guò)增加時(shí)隙數(shù)來(lái)降低對(duì)天線數(shù)的需求。如何在保證高自由度的同時(shí)，進(jìn)一步降低對(duì)終端天線數(shù)的要求將是下一步的研究重點(diǎn)。

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