張兢,李冠迪，史文進，曾建梅
　　（重慶理工大學 電子信息與自動化學院，重慶 400054）

       摘要：分析了小波去噪的特點，針對軟、硬閾值的缺陷，構造出一種新的閾值函數(shù)及閾值估計方法。新閾值函數(shù)連續(xù)可導并且新閾值估計方法具有優(yōu)良的自適應性。仿真實驗表明，該方法可以有效去除白噪聲干擾，信噪比更高，均方根誤差更小，且重構信號的近似性好。
　　關鍵詞：小波閾值去噪；閾值函數(shù)；閾值估計；信噪比；均方根誤差　　

0引言
　　在信號的采集、傳輸過程中，不可避免地會受到各種噪聲干擾，對信號去噪處理已成為人們關注和研究的熱點。小波變換具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力［1］，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整，能有效區(qū)分非平穩(wěn)信號中的突變部分和噪聲［2］，可在提高信噪比的同時保持對突變信息的良好分辨能力。
　　小波去噪方法有：模極大值法、小波閾值去噪法以及相關去噪法。其中，運用最為廣泛的是DONOHO D L在1995年提出的小波閾值去噪的算法［3-4］，該方法處理含噪信號時采用軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)。但傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)存在恒定偏差缺陷，以及硬閾值函數(shù)有振蕩現(xiàn)象的缺陷［5］。本文深入分析小波軟硬閾值的優(yōu)缺點，綜合其他學者提出的閾值函數(shù)，在此基礎上構造出一種新的閾值估計與閾值函數(shù)。通過仿真實驗分析，新閾值函數(shù)連續(xù)可導，既解決了軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問題，又解決了硬閾值函數(shù)存在振蕩現(xiàn)象的問題，具有較好的實用性。
1小波閾值去噪基本原理
　　1.1小波變換
　　假設含噪信號的觀測值為f(t)，則:
　　

　　其中,s(t)為信號在時刻t的真實值，n(t)為高斯白噪聲，σ為噪聲標準差。小波變換的目的是抑制n(t)以恢復s(t)。對于一維信號f(t)而言，首先要對它進行離散采樣，得到N點離散信號f(n),n=1,2,…,N-1，其小波變換為：
　　

　　ωf(j,k)為小波系數(shù)記為ωj,k。由于小波變換屬于線性變換，因此對含噪信號f（t）=s(t)+σn(t)作離散變換后，得到的小波系數(shù)j,k仍舊是由真實信號s(t)對應的小波系數(shù)和噪聲信號n(t)所對應的小波系數(shù)兩部分組成。
　　1.2小波閾值去噪
　　從數(shù)學角度分析，小波閾值去噪本質上是函數(shù)逼近問題；從信號處理角度分析，則為信號濾波問題［6］。在實際信號中，噪聲通常分布在高頻信號中，而純凈信號通常分布在低頻信號中，則可通過設置閾值方法將噪聲信號分離出去［7］。小波閾值去噪法的流程圖如圖1所示?！?/p>

　　其中，f(x)為含噪信號，f^(x)為重構信號。由以上流程圖可得閾值函數(shù)和閾值的選取直接影響到最終的去噪效果，閾值選取過小，則會消噪不足，致使信號的弱特征成份被噪聲淹沒；反之，則會導致“過扼殺”的現(xiàn)象。
　　設ωj,k為原始小波系數(shù)，ω^j,k為閾值處理后的小波系數(shù)，λ=σ2log(N)為統(tǒng)一閾值，則λ>0，傳統(tǒng)閾值去噪有：
　?。?）硬閾值（Hard Thresholding）
　　

　　（2）軟閾值（Soft Thresholding）
　　

　　為了對比軟閾值與硬閾值的處理效果，設一原始信號為：
　　

　　分別對其進行軟閾值和硬閾值去噪，仿真結果如圖2所示。
　　

　　由圖2可知，硬閾值函數(shù)在ωj,k=±λ處不連續(xù)，去噪時造成較大方差，重構信號出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)的小波系數(shù)連續(xù)性雖好，但當ωj,k>λ或ωj,k<－λ時，軟閾值對小波系數(shù)進行壓縮時存在恒定的偏差，并且軟硬閾值函數(shù)不具有高階可導性，不易實現(xiàn)數(shù)字處理。因此，尋找一種既可以克服軟硬閾值缺陷，又高階可導的新閾值函數(shù)至關重要。
2新閾值函數(shù)與閾值估計
　　2.1閾值函數(shù)的選取
　　針對上述軟閾值與硬閾值的不足，學者們提出了許多改進閾值函數(shù)，較經(jīng)典的如參考文獻［8］提出的一種自適應的閾值函數(shù)：
　

　　上述的閾值函數(shù)具有很好的自適應性，但是卻存在振蕩和偽吉布斯效應，在閾值處并不光滑。為了克服這些弱點本文在此基礎之上構造了一種新的閾值函數(shù)：
　　

　　其中,α為調(diào)節(jié)參數(shù)，由式（7）可以看出，當α→0時為軟閾值函數(shù)，當α→∞時為硬閾值函數(shù)。由此可見，構造的新閾值函數(shù)同時具有軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)特點，靈活性較好。因此根據(jù)不同的去噪目的去調(diào)節(jié)α值，可得到較好的去噪效果。并且當ωj,k→±λ時，j,k→0,j,k在ωj,k=±λ處是連續(xù)的，即與硬閾值函數(shù)相比，重構信號不會產(chǎn)生震蕩。
　　構造的新閾值函數(shù)不但具有連續(xù)性，并且當ωj,k>λ或ωj,k<-λ時具有高階可導性，新閾值函數(shù)對各種數(shù)字信號處理都很方便，證明如下：
　　

　　由式（8）~（12）可知，f（x）以y=x作為漸近線，同理可得本文采用的改進的閾值函數(shù)以j,k=ωj,k為漸近線，并且ωj,k值越大，小波系數(shù)估計值j,k越接近ωj,k,進而克服硬閾值的小波系數(shù)不連續(xù),以及軟閾值函數(shù)的j,k與ωj,k存在恒定偏差的缺陷。
　　2.2改進閾值估計
　　在小波閾值去噪中不僅閾值函數(shù)是影響去噪效果的關鍵因素，閾值估計也至關重要。目前，人們通常采用統(tǒng)一閾值，但是此閾值與信號長度N相關，信號長度N越大，小波系數(shù)被置0的數(shù)目越多，導致“過扼殺”現(xiàn)象［9］；反之則會導致消噪不足的現(xiàn)象。為了避免上述現(xiàn)象發(fā)生，在統(tǒng)一閾值的基礎上引入了一個適中的收縮因子，新閾值估計的數(shù)學公式為：
　

　　式中，σ為噪聲標準差，Nj為各層高頻系數(shù)的長度，L為分解層數(shù)。由式（13）可得：隨著分解層數(shù)L的不同，閾值估計的大小隨之自動調(diào)節(jié)，因此具有較強的自適應性。
3仿真實驗及分析
　　3.1去噪效果的評價指標
　　采用信噪比SNR和均方根誤差RMSE對去噪效果進行比較評價，信噪比表示的是信號中含有噪聲的多少，其值越大，信號中噪聲含量越少；均方根誤差表示測量樣本的可靠性，其值越小，測量的可靠性越高。表達式如式（14）和式（15）所示。
　　

　　其中，f(i)為原始不含噪信號，f^(i)為去噪后的信號，N為信號長度。
　　3.2實驗結果分析
　　為了驗證新閾值函數(shù)的有效性，用MATLAB2010對其進行仿真，將一段含有噪聲的Leleccum信號分別采用硬閾值、軟閾值、參考文獻［8］提出的閾值函數(shù)及本文構造的新閾值函數(shù)進行去噪實驗。經(jīng)多次試驗可得，選取sym4小波分解5層，且調(diào)節(jié)參數(shù)α取值為5×10-5時得到的效果最好。所以本實驗選取sym4小波及5層小波分解進行實驗。實驗中含噪Leleccum信號的信噪比為26.199 6 dB，調(diào)節(jié)參數(shù)α=5×10-5，進行仿真實驗，測試結果如圖3所示。

　　從圖3可以看出，本文提出的改進閾值函數(shù)小波重構得到的信噪比硬閾值函數(shù)以及參考文獻［8］提出方法重構信號更平滑，比軟閾值函數(shù)重構信號保留的有用信號更多，因而能更好地還原原始信號所包含的信息?！?/p>

表1給出了4種閾值函數(shù)去噪后的信噪比和均方誤差。從實驗結果數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的閾值方法相比軟、硬閾值方法以及參考文獻［8］方法，在信噪比和均方根誤差兩個性能指標上均有明顯的提高，說明改進后的方法可靠性更強，去噪效果更好。
4結論
　　本文構造出了新閾值函數(shù)和閾值估計方法，新閾值函數(shù)具有軟硬閾值優(yōu)點，同時具有連續(xù)可導性，并且通過自適應調(diào)整參數(shù)α消除了軟閾值函數(shù)的恒定偏差、硬閾值函數(shù)不連續(xù)以及引用參考文獻提出的閾值函數(shù)光滑性差的缺點。改進的閾值估計隨分解尺度的變化自適應調(diào)節(jié)閾值的大小，避免了“過扼殺”現(xiàn)象的產(chǎn)生。仿真結果表明，新閾值去噪方法重構得到的信號質量明顯優(yōu)于軟閾值方法、硬閾值方法以及參考文獻［8］提出的方法，在去除噪聲的同時很好地保留了有用信號，證明了算法的有效性與實用性。
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