馬亞男，戴爾晗，陳誠(chéng)

　?。暇┼]電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023）

       摘要：在多周期結(jié)構(gòu)分析中，最大重疊離散小波變換得到的信號(hào)周期具有明顯的局限性。在對(duì)比小波方差分析中，提出了用最大重疊離散小波包方差法分析不同尺度小波方差圖、功率譜，從而得到信號(hào)周期估計(jì)的最大值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)信號(hào)或時(shí)間序列周期結(jié)構(gòu)的分析是一種有效的方法，該方法可以準(zhǔn)確估計(jì)多周期信號(hào)的小波包方差。

　　關(guān)鍵詞：功率譜；多周期；小波方差；小波包方差

　　中圖分類(lèi)號(hào)：TP216+.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.03.024

　　引用格式：馬亞男，戴爾晗，陳誠(chéng).多周期信號(hào)的小波包方差分析方法［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36（3）：82-84.

0引言

　　高分辨譜估計(jì)是信號(hào)處理中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。一個(gè)信號(hào)的周期性結(jié)構(gòu)，在光譜分析中有兩種方法：FFT譜估計(jì)方法和現(xiàn)代譜估計(jì)方法。傳統(tǒng)的傅里葉變換方法只適用于平穩(wěn)信號(hào)分析，其分辨率是固定的。當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，分辨率較低，且不能同時(shí)對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行分析。所以，在應(yīng)用程序中有很大的局限性［1］。近年來(lái)，一些研究人員提出了基于小波變換的現(xiàn)代譜估計(jì)方法，對(duì)頻率分辨率和估計(jì)精度有了較大的提高［23］。這些方法已逐漸被應(yīng)用于金融、氣象、水印、海洋、機(jī)械、醫(yī)療和電子信號(hào)處理領(lǐng)域［46］。信號(hào)周期旋轉(zhuǎn)后，功率譜的周期結(jié)構(gòu)發(fā)生變化［78］，因此，離散小波變換不能直接用于信號(hào)的周期結(jié)構(gòu)分析。

　　本文將基于MODWT小波方差有效地分析估計(jì)信號(hào)的頻譜，從而分析信號(hào)的周期結(jié)構(gòu)。DWT和MODWT有良好的低頻頻率分辨率,但有較低的高頻頻率分辨率；自然極大重疊離散小波包變換(MODWPT)被認(rèn)為具有更好的頻率分辨率，高頻率可取代MODWT。由于小波系數(shù)的突出優(yōu)勢(shì)和MODWT的縮放系數(shù)滿足平移不變性、各分解層保持相同的分辨率和無(wú)相位失真，MODWPT非常適合于非平穩(wěn)信號(hào)處理［9］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用基于MODWPT的方法來(lái)仿真信號(hào)的周期性結(jié)構(gòu)具有良好的效果。

1小波方差法

　　1.1小波方差的定義

　　給定一個(gè)離散時(shí)間信號(hào){Xt}，它可以看作是一個(gè)實(shí)現(xiàn){Xt}的X0,X1,X2...XN-1的均值為零的平穩(wěn)過(guò)程，且{Xt}的第d階向后差分是平穩(wěn)過(guò)程。用{j,l:l=0,1,2...Lj－1}來(lái)表示一個(gè)系數(shù)為第j階MODWT的小波濾波器，并使得：

　　其中式（1）表示用{j,l}、{Xt}的小波濾波器濾波得到的隨機(jī)過(guò)程。

　　{Xt}基于尺度τj=2j－1的小波方差定義如下：

　　v2(τj)=var{Wj,t}（2）

　　1.2小波方差估計(jì)

　　為了估計(jì)小波方差v2x(τj)，使用寬度為L(zhǎng)≥2d的小波濾波器。假設(shè)L足夠大,則E{Wj,t}= 0。根據(jù)這種假設(shè)有：

　　v2(τj)=var{Wj,t}=E{(Wj,t－Wj,t)2}=E{W2j,t}（3）

　　所以小波方差的估計(jì)可以基于平方過(guò)程{W2j,t}，假設(shè)序列{xt}的樣本大小滿足N≥Lj，并且計(jì)算出的小波系數(shù)為Wj,t，t=0,1,...，N－1。Wj,t，t=0,1,...，N－1，表示vx2(τj)的無(wú)偏估計(jì)。且小波方差的無(wú)偏估計(jì)為：

　　v

　　其中Mj=N－Lj+1，且Lj是第j階等效小波或縮放濾波器的寬度。

2小波包方差法

　　給定一個(gè)離散信號(hào)，零均值平穩(wěn)過(guò)程{Xt}的實(shí)值部分的序列為X0，X1，...XN-1，{v2j,n}的估計(jì)量為：

　　其中，n=0,1,...,2j－1且Lj=(2j－1)(L－1)+1。然而，如果E{xt}是未知的，過(guò)濾器{l}的性質(zhì)為∑ll=0，{v2j,n}合適的估計(jì)量是：

　　其中，n=0,1,...，2j－1，{2j,n}是小波方差估計(jì)。在低頻和高頻域中式（5）和式（6）可以估計(jì)小波方差。與小波方差相比較，可以得出這樣的結(jié)論：基于小波包方差的方法可以更準(zhǔn)確地進(jìn)行周期性結(jié)構(gòu)分析。

3基于小波包方差周期結(jié)構(gòu)分析

　　下面有5個(gè)正弦周期模擬信號(hào)：

　　xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)（8）

　　頻率分別為f1=100 Hz，f2=175 Hz，f3=200 Hz，f4=300 Hz，f5=320 Hz。周期分別為T(mén)1=0.01 s，T2=0.005 7 s，T3=0.005 s，T4=0.003 3 s，T5=0.003 1 s。采樣周期為0.001 s，采樣點(diǎn)的數(shù)量是1 000。因此，該信號(hào)可以看作是一個(gè)離散時(shí)間序列。

　　式（8）中,xt是在MODWPT基礎(chǔ)上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6層和8層進(jìn)行小波方差的估計(jì)。計(jì)算出頻率對(duì)應(yīng)于不同尺度的小波包的頻率區(qū)間?；贛ODWPT的小波包方差圖如圖1(a)和(b)所示。圖1(a)表示尺度為0.064 s的小波方差。圖1(b)表示尺度為0.256 s的小波方差。

　　從圖1可以看到，小波方差圖可以分為5大峰，其頻率大致為100 Hz、175 Hz、200 Hz、300 Hz和320 Hz。下一個(gè)峰值發(fā)生在最大峰值處。從圖1可以得出結(jié)論：分解層數(shù)增加，泄漏更嚴(yán)重。

　　通過(guò)使用方程（8），可以在其中估計(jì)xt的譜密度函數(shù)x(f)，結(jié)果如圖2所示。該圖還顯示出估計(jì)是基于db4小波濾波器和分解水平j(luò)=6，j=8。此處x(f)是分段常數(shù)。從圖2中可以看出，分解尺度越大，分段常數(shù)區(qū)間越小，顯示的頻率范圍越小，峰值變尖，峰值位置越接近信號(hào)的主頻。因此，基于小波包方差功率譜估計(jì)可以準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)的多周期結(jié)構(gòu)。

　　有一個(gè)高頻信號(hào)如下：

　　xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)（9）

　　根據(jù)MODWPT采樣周期是0.000 01 s和采樣點(diǎn)的數(shù)量為10 000，信號(hào)被分解為10個(gè)等級(jí)，小波包方差如圖3所示，實(shí)際尺度為τj=210Δt=0.010 24 s。對(duì)應(yīng)的兩大峰值的頻率分別為f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此，小波包方差的方法可以有效地識(shí)別高頻信號(hào)周期結(jié)構(gòu)。

　　當(dāng)尺度較大時(shí)，觀測(cè)范圍內(nèi)的時(shí)間軸也較大。例如，一個(gè)低頻信號(hào)如下：

　　xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)（10）

　　采樣周期為0.5 s，采樣點(diǎn)的數(shù)量是2 000。在MODWPT基礎(chǔ)上信號(hào)可以分解為5層，其中實(shí)際尺度τj=16 s，小波包方差圖如圖4所示。三大峰對(duì)應(yīng)的頻率分別為f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明，小波包方差的方法可以有效地識(shí)別低頻信號(hào)周期結(jié)構(gòu)。

　　基于MODWPT分析信號(hào)的小波包的變異時(shí)，理論上可以在低頻或高頻獲得高分辨率。但是由于小波變換的特殊性，當(dāng)尺度因子減小時(shí)，小波包的時(shí)域波形變小，這相當(dāng)于頻率域的波形變寬，意味著帶通濾波器更寬。如果減少了步長(zhǎng)因子，小波包方差圖不理想，原因是衰減很慢，并伴隨著泄漏。

4結(jié)論

　　使用基于MODWT或MODWPT時(shí)間信號(hào)的多尺度分析可以避免初始點(diǎn)和信號(hào)長(zhǎng)度的影響，而且還可以以不同的頻率有效地分解方差的序列?；贛ODWT方法僅在低頻分析小波方差時(shí)有效，所以準(zhǔn)確性估計(jì)的程度是有限的。信號(hào)的低頻和高頻域可以分別基于MODWPT被分解，因此可以得到比MODWT更高的分辨率。這表明，小波包方差法能更準(zhǔn)確地估計(jì)多周期結(jié)構(gòu)。此外，也可以在噪聲信號(hào)的多周期結(jié)構(gòu)分析中使用基于小波包方差的方法。仿真結(jié)果表明，通過(guò)MODWPT分析小波包方差和功率譜，信號(hào)周期的頻率可以有效地估計(jì)。它提供了一種信號(hào)或序列的周期性結(jié)構(gòu)分析的有效方法。

參考文獻(xiàn)

　?。?］ HERLEY C, VETTERLI M. Wavelets and recursivefilter banks［J］. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013,41(8): 2536-2556 .

　?。?］ 李芬華，潘立冬，常鐵原，等.精密頻譜分析系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］. 電力自動(dòng)化設(shè)備,2002,22(12):40-43.

　?。?］ 張瑛，牟龍華，劉軍.電力系統(tǒng)頻率測(cè)量及跟蹤［J］. 電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2003,15(3) :35-36.

　?。?］ AGHAZADEH R,LESANI H,SANAYEPASAND M,et al.New technique for frequency and amplitude estimation of power system signals［J］. IET Proceedings of Gener. Transm. Distrib.,2005,152(3) :435-440.

　?。?］ NEWLAND D E. Ridge and phase indetification in the frequency analysis of transient signals by harmonIc wavelets［J］ .Journal of Vibration and Acoustics, 1999,121(2):149-155 .

　?。?］ SHERLOCK B G,KAKAD Y P. Windowed discrete cosine and sine transforms for shifting data［J］.Signal Processing,2001,81(7): 1465-1478 .

　　［7］ 胡蔦慶,溫熙森，陳敏.隨機(jī)共振原理在強(qiáng)噪聲背景信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用［J］.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2001,23(4): 40-44 .

　?。?］ Wang Guanyu. The application of chaoticoscillator stoweak signal detection［J］ . IEEE Transactions on Industrial Electronics,2001,46(2): 440-444 .

　　［9］ 李一兵，岳欣，楊莘元．多重自相關(guān)函數(shù)在微弱正弦信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(4):525-528.