0 引言

    核磁共振圖像(Magnetic Resonance Image，MRI)具有無輻射、高分辨率、多平面成像等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于臨床診斷。然而，緩慢的掃描速度會導致運動偽影的產(chǎn)生，致使圖像變得模糊和失真，因此研究如何在保證高質(zhì)量圖像的情況下提高成像速度具有重要的理論和實際應(yīng)用價值。壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論是DONOHO D L、CAND?魬S E J和TAO T等^[1-3]在2006年提出的一種全新的信號采樣和處理理論。CS理論提供了一個利用少量測量數(shù)據(jù)實現(xiàn)稀疏信號重建的框架，極大地減少傅里葉變換域的采樣數(shù)據(jù)，縮短掃描時間，提高成像速度。

    在MRI領(lǐng)域，CS理論得到極大的認可。LUSTIG M等^[4]利用MRI在小波域的稀疏性和空間域的變分約束，將CS理論成功應(yīng)用于心臟成像、腦成像、快速三維血管造影等，并取得良好的重建效果。在Lusting等人的研究基礎(chǔ)上，DABOV K等^[5]在對局部相似性研究的基礎(chǔ)上，提出一種新的塊匹配重建算法。AK?覶AKAYA M等^[6]利用塊匹配的重建算法對中心采樣的心臟圖像進行重建，實現(xiàn)了在4倍采樣的MRI的精確重建。RAVISHANKAR S等^[7]利用K-SVD思想，提出一種基于自適應(yīng)字典學習的MRI重建算法，重建效果得到進一步提高。RAJWADE A和LINGALA S G等^[8，9]提出的具有盲字典學習的高光譜成像和動態(tài)MRI算法自適應(yīng)學習字典,獲得了良好的重構(gòu)性能。

    字典學習^[10]可以有效表征圖像的特征信息，全變分(Total Variation，TV)正則項^[11]可以保持圖像邊緣信息。然而，在字典學習過程中稀疏編碼會產(chǎn)生混亂信息熵，影響字典學習效率，TV單向梯度處理平滑區(qū)域會產(chǎn)生階梯效應(yīng)。針對以上問題，本文引入熵約束和加權(quán)的TV正則項，充分利用圖像的先驗信息，構(gòu)建圖像重構(gòu)模型。

1 壓縮感知基本理論

    基于稀疏表示理論，CS理論將信號采樣和壓縮合并進行，通過非自適應(yīng)線性投影有效獲取信號的特征信息，并利用求解最優(yōu)化問題高概率精確重構(gòu)原信號，緩解了數(shù)據(jù)的采集、存儲、傳輸和分析的壓力。一般地，對于原始信號為x∈C^N，給定測量值y=Φx∈C^M，其中Φ∈C^M×N(M<N)是非滿秩測量矩陣，存在無窮多個可行解x，若Φ滿足約束等距條件，則可確保重構(gòu)解唯一。信號重構(gòu)過程轉(zhuǎn)換為最小化L₀范數(shù)模型，即：

其中||·||₀是零范數(shù)，表示x中非零元素的個數(shù)。求解式(1)不僅是一個NP難問題，而且極易受到噪聲的影響。針對此問題，研究者采用凸的L₁范數(shù)代替非凸的L₀范數(shù)，即：

    選擇一個合適的拉格朗日乘子λ，式(2)可轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：

    采用Bregman算法、對偶算法以及交替迭代乘子法等算法均可有效求解式(3)。最近研究表明，圖像信息中包含了大量的自相關(guān)結(jié)構(gòu)，具有高度結(jié)構(gòu)化稀疏性以及低秩特性，利用這種非局部相似特性構(gòu)建的低秩結(jié)構(gòu)化稀疏模型^[12]顯示出更為優(yōu)異的圖像重構(gòu)效果。

2 圖像重構(gòu)模型的提出

    由于字典學習過程中稀疏系數(shù)索引會產(chǎn)生較高的信息熵，影響原子學習效率。而單一的TV正則項又會對圖像邊緣紋理過平滑，產(chǎn)生階梯效應(yīng)。為此，基于熵約束和加權(quán)TV正則項提出一種新的圖像重構(gòu)模型，如下所示：

其中E(T，u)是字典學習正則項，G(u)是加權(quán)TV正則項，y=Φu是數(shù)據(jù)約束項。

2.1 基于熵約束的字典學習正則項

    稀疏表示是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素，為克服傳統(tǒng)變換不能有效表示輪廓、紋理、振蕩等高維幾何特征的缺點，稀疏表示的研究從正交基擴展到過完備字典。式(4)中的第一項E(T，u)是字典學習約束項，字典學習方法一般可通過優(yōu)化下式獲取：

    在稀疏編碼過程中會得到非零系數(shù)和相對應(yīng)的位置索引，這些索引值有很大的隨機性，導致其信息熵非常高，降低了字典學習效率。為此，引入熵的約束，以提高字典學習效率。對保真項、稀疏度以及原子選擇的熵作聯(lián)合優(yōu)化，構(gòu)造新的優(yōu)化函數(shù)：

2.2 加權(quán)各向同性與異性的TV正則項

    TV模型廣泛應(yīng)用于圖像去噪、修復、超分辨率等,其各向同性、各向異性的數(shù)學表達如下：

其中D_x、D_y分別表示水平和垂直方向上的導數(shù)。

    對于分段常數(shù)函數(shù)或光滑區(qū)域，其每個像素點的梯度是1-稀疏，通過L₁范數(shù)可以很好地重構(gòu)，然而，對于邊緣信息豐富的區(qū)域，梯度并非1-稀疏，其效果并不理想，它會產(chǎn)生階梯效應(yīng)。針對這種非稀疏的梯度向量，結(jié)合各向同性與各向異性，用加權(quán)的TV正則項代替單一的TV項，即：

其中γ∈[0，1]。其優(yōu)點在于具有Lipschitz正則性，并且在求解時用現(xiàn)有的算法可充分確保其收斂性。

2.3 基于字典學習和加權(quán)TV的重構(gòu)模型

    結(jié)合上述字典學習和TV模型，構(gòu)建如下重構(gòu)模型：

    式(9)第一項保證圖像塊可以用過完備字典稀疏表示，R_j∈R^n×N表示提取圖像u的第j塊的二值矩陣，那么所有圖像塊的組合能覆蓋整個圖像，可能有重疊部分，這里的圖像塊大小和過完備字典中的原子大小必須是一致的，才能保證每個圖像塊都能被字典中的原子線性表示。第二項是字典原子熵約束項，提高字典學習效率。第三項是基于加權(quán)的TV正則項，有效保留圖像邊緣信息，可抑制階梯效應(yīng)。前三項起到去除采樣過疏導致偽影和保留圖像局部結(jié)構(gòu)的作用。第四項是數(shù)據(jù)保真項，用于增強k空間的數(shù)據(jù)保真度，其中是感知矩陣，P是采樣矩陣，是傅里葉變換。

3 模型求解

    本文采用交替最小化方法求解式(9)。首先固定u，獲得學習字典和稀疏系數(shù)。然后，固定字典和系數(shù),依據(jù)測量數(shù)據(jù)更新重構(gòu)圖像u。

    (1)字典學習階段對應(yīng)的子問題目標函數(shù)為：

    采用K-SVD方法求解，其相應(yīng)的OMP算法需要修改，在每次迭代計算殘差時應(yīng)加入選擇原子熵，即：

    (2)更新重構(gòu)階段對應(yīng)的子問題目標函數(shù)為：

    上述能量泛函是凸的，通過交替迭代轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于u、d的兩個子問題。

    對u問題，利用變分法直接求導，引入周期性邊界條件,并使用快速傅里葉變換(FFT)進行求解，可得：

4 仿真實驗與結(jié)果分析

    實驗環(huán)境為MATLAB 2011a版本，為了能夠有效對比重構(gòu)圖像的不同特征，選取光滑和紋理區(qū)域差異較大的兩張腦部圖像，尺寸為256×256，并采用兩種不同的采樣方式，如圖1所示。實驗中待重構(gòu)數(shù)據(jù)是模擬對原始圖像的二維離散傅里葉變換，采樣得到。本文與字典模型、TV模型作對比，以信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)作為指標衡量重構(gòu)效果。圖像塊大小為８×８，字典原子維數(shù)M=64，個數(shù)K=256，以離散余弦變換字典為初始字典，平衡參數(shù)α=1，β=1，稀疏度T₀=10，λ=140，分別取γ=0.5、1，迭代10次。

    利用零填充、TV、字典學習3種不同算法，分別對兩幅不同特征的MRI圖像在16%和25%采樣率下進行了多組實驗，實驗結(jié)果如圖2、圖3所示。不同圖像重構(gòu)下SNR、PSNR、SSIM指標對比見表1、表2。從實驗結(jié)果看，TV算法會對圖像邊緣信息過平滑，丟失紋理細節(jié)信息。同時，為了對比本文算法在不同采樣矩陣下的恢復效果。綜合數(shù)據(jù)看，L₁-L₂恢復效果優(yōu)于L₁-0.5L₂的效果，本文算法重構(gòu)的圖像比TV或字典模型PSNR平均高出1～2 dB，在平滑區(qū)和邊緣紋理區(qū)處理結(jié)果都優(yōu)于單純的TV和字典算法。

5 結(jié)論

    本文基于圖像塊稀疏性提出一個自適應(yīng)的字典學習框架，該框架直接由采樣的空間數(shù)據(jù)獲得，對圖像樣本具有自適應(yīng)性，又結(jié)合加權(quán)TV正則項，充分地利用各自的優(yōu)點，有效消除噪聲，保留圖像邊緣紋理，增強局部結(jié)構(gòu)。實驗結(jié)果表明，本文對噪聲具有魯棒性，在無噪聲和有噪聲的情況下均具有良好的性能。在高度欠采樣下，圖像的各種特征有很好的重構(gòu)效果，算法經(jīng)過少量的迭代就可以收斂，對參數(shù)的選取同樣具有魯棒性。下一步將從參考圖像出發(fā)，選擇合適初始字典,考慮低秩流形結(jié)構(gòu)和塊稀疏字典兩者相結(jié)合，使MRI重構(gòu)圖像具有更豐富的結(jié)構(gòu)信息。

參考文獻

[1] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.

[2] CANDES E J.Compressive sampling[J].Marta Sanz Solé，

     2006，17(2)：1433-1452.

[3] CANDES E J，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(2)：489-509.

[4] LUSTIG M，DONOHO D，PAULY J M.Sparse MRI：The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Magnetic Resonance in Medicine，2007，58(6)：1182-95.

[5] DABOV K，F(xiàn)OI A，KATKOVNIK V，et al.Image denoising by sparse 3-D transform-domain collaborative filtering[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2007，16(8)：2080-2095.

[6] AKCAKAYA M，BASHA T A，GODDU B，et al.Low-dimensional-structure self-learning and thresholding：Regularization beyond compressed sensing for MRI Reconstruction[J].Magnetic Resonance in Medicine Official Journal of the Society of Magnetic Resonance in Medicine，2011，66(3)：756-767.

[7] RAVISHANKAR S，BRESLER Y.MR image reconstruction from highly undersampled k-space data by dictionary learning[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，2011，30(5)：1028-41.

[8] RAJWADE A，KITTLE D，TSAI T H，et al.Coded hyper-spectral imaging and blind compressive sensing[J].Siam Journal on Imaging Sciences，2013，6(2)：782-812.

[9] LINGALA S G，JACOB M.A blind compressive sensing frame work for accelerated dynamic MRI[J].Proceedings，2012，88(1)：1060-1063.

[10] KONDO S.Compressed sensing and redundant dictionaries[J].Information Theory IEEE Transactions on，2008，54(5)：2210-2219.

[11] RUDIN L I，OSHER S，F(xiàn)ATEMI E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physica D-nonlinear Phenomena，1992，60(1-4)：259-268.

[12] DONG W，SHI G，LI X，et al.Compressive sensing via nonlocal low-rank regularization[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2014，23(8)：3618-3632.

作者信息:

宋長明，惠慶磊，程東旭

(中原工學院 理學院，河南 鄭州450007)