0 引言

    近年來，以正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)技術(shù)為代表的多載波數(shù)據(jù)傳輸技術(shù)以其在頻譜效率、對抗多徑衰落、低的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度等方面的優(yōu)異性能得到了廣泛的應(yīng)用^[1-2]。然而，OFDM子載波濾波器的旁瓣電平較大，高達(dá)-13 dB，難以具備良好的頻率選擇特性，OFDM系統(tǒng)通過在信號前端加入循環(huán)前綴使傳輸速率降低來克服此缺陷。另外，OFDM系統(tǒng)要求相鄰子載波之間嚴(yán)格滿足正交性。而濾波器組多載波系統(tǒng)(Filter Bank-based MultiCarrier，F(xiàn)BMC)只需通過設(shè)計(jì)良好頻率選擇特性原型濾波器即可，不需要在信號前端加入循環(huán)前綴和相鄰子載波之間的正交性，提高了信號的傳輸速率和系統(tǒng)設(shè)計(jì)靈活性^[3-5]。因此，目前將要代替OFDM技術(shù)逐漸被公認(rèn)是基于濾波器組的多載波技術(shù)^[6-7]。

    在FBMC技術(shù)中，發(fā)送端通過合成濾波器組來實(shí)現(xiàn)多載波調(diào)制，接收端通過分析濾波器組來實(shí)現(xiàn)多載波解調(diào)。這些濾波器組由原型濾波器經(jīng)調(diào)制得到^[8-11]。其中，原型濾波器的設(shè)計(jì)是核心問題，現(xiàn)有的設(shè)計(jì)算法中，一類是將濾波器組的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為以結(jié)構(gòu)參數(shù)為變量的優(yōu)化問題，主要有頻率采樣的方法^[12-16]、窗函數(shù)方法^[17]。其中，窗函數(shù)方法是通過對理想濾波器加窗來構(gòu)造原型濾波器，從而將設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于窗函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化問題。頻率采樣方法是通過對理想濾波器頻率響應(yīng)進(jìn)行等間隔采樣，然后求逆傅里葉變換，得到原型濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)。這類方法設(shè)計(jì)簡單，可調(diào)節(jié)部分參數(shù)，設(shè)計(jì)的原型濾波器具有閉合解，但是因設(shè)計(jì)自由度小導(dǎo)致性能受限。另一類方法是直接對原型濾波器的系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其中代表性算法是基于半定規(guī)劃(SDP)的方法^[18]。將原型濾波器的設(shè)計(jì)問題被歸結(jié)為一個(gè)帶約束優(yōu)化問題，從而能獲得更佳的原型濾波器。但是所歸結(jié)的優(yōu)化問題是關(guān)于濾波器系數(shù)的高度非線性優(yōu)化問題，求解較為困難。為了克服這些缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[19]采用基于?琢BB(?琢-based Branch and Bound)來極大地降低直接算法的求解規(guī)模。該算法通過對約束進(jìn)行有效近似，從而極大地降低了優(yōu)化變量個(gè)數(shù)。但是，所需優(yōu)化的變量個(gè)數(shù)通過求解SQP來確定,導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度高^[19]。該方法設(shè)計(jì)所得的原型濾波器具備高阻帶水平和較低的失真。但是該方法近似中舍去了大量的設(shè)計(jì)自由度，導(dǎo)致原型濾波器設(shè)計(jì)性能受限。

    本文所考慮的設(shè)計(jì)是快速優(yōu)化得到原型濾波器，根據(jù)FBMC系統(tǒng)的性能指標(biāo)，將原型濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)是由FBMC系統(tǒng)的符號間干擾(ISI)、信道間干擾(ICI)和原型濾波器的阻帶能量所導(dǎo)出，運(yùn)用修正的牛頓迭代法，可以快速設(shè)計(jì)得到原型濾波器。與已有設(shè)計(jì)算法進(jìn)行仿真對比發(fā)現(xiàn)，本算法具有更低的計(jì)算代價(jià)，得到的FBMC系統(tǒng)有著較好系統(tǒng)性能，從而可以快速而有效地設(shè)計(jì)大規(guī)模通道的FBMC系統(tǒng)。

1 FBMC系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)

    不失一般性，本文將以FBMC-OQAM(Offset Quadrature Amplitude Modulation)系統(tǒng)為例來闡述FBMC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題。圖1給出了FBMC-OQAM系統(tǒng)的模型，其中a_k(n)，b_k(n)是第k通道上第n個(gè)輸入信號的實(shí)部和虛部，則輸入信號x_k(n)=a_k(n)+jb_k(n)。偏移正交振幅調(diào)制(OQAM)中，實(shí)部與虛部在時(shí)域T/2處同相交錯(cuò)的相互正交，其中T是傳輸信號的周期，N是綜合濾波器通道數(shù)，每個(gè)通道之間的載波頻率是1/T。FBMC-OQAM的基帶輸入信號為^[7]：

2 FBMC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

2.1 FBMC系統(tǒng)中性能指標(biāo)

    在系統(tǒng)中，可以通過減小ISI/ICI來提高系統(tǒng)性能，從而使得系統(tǒng)滿足近似完全重構(gòu)條件，而ISI/ICI可以被確定通過原型濾波器的設(shè)計(jì)^[19]。根據(jù)文獻(xiàn)[19]表明ISI/ICI的整體水平可以被表示為：

    將式(7)和式(8)寫成矩陣相乘的形式：

2.2 原型濾波器的設(shè)計(jì)

    基于上述的分析，可以將原型濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為無約束的優(yōu)化問題，然后用修正牛頓算法進(jìn)行求解該優(yōu)化問題。在FBMC-OQAM通信系統(tǒng)中，原型濾波器需要滿足線性相位結(jié)構(gòu)^[20]，即：

    另外，為使原型濾波器具有好的頻率特性，期望原型濾波器具備高的阻帶衰減，這可以通過控制其阻帶能量來達(dá)到：

    (3)判斷||d_k||₂≤η(η是給定的很小的正數(shù))是否成立，若成立，終止該算法迭代，x_k+1為最優(yōu)的結(jié)果；若不成立，令x_k=x_k+1，k=k+1并返回到步驟(2)繼續(xù)迭代。

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

    本文通過修正牛頓迭代算法來設(shè)計(jì)一個(gè)綜合性能較好的FBMC-OQAM系統(tǒng)，原型濾波器都是通過閉合公式求解，計(jì)算復(fù)雜度來自求解線性等式(28)，主要有求矩陣B(x_k)的逆，以及計(jì)算向量和矩陣B(x_k)。另外，如果搜索步長取最優(yōu)值，則計(jì)算復(fù)雜度高^[20]，所以式(29)采用了單位步長進(jìn)行計(jì)算。因此本文算法有較小的計(jì)算消耗。此算法適用于大規(guī)模FBMC-OQAM系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，為未來5G通信中發(fā)揮作用提供了設(shè)計(jì)算法方面的儲(chǔ)備。

3 仿真結(jié)果與分析

    對于FBMC-OQAM系統(tǒng)的評價(jià)指標(biāo)，采用與文獻(xiàn)[20]相同的評價(jià)指標(biāo)：最小均方誤差(MSE)和阻帶能量(SE)。設(shè)計(jì)例子的仿真程序使用的是MATLAB2010b軟件編程并運(yùn)行于Intel i3-M380主頻2.53 GHz的PC。

    例1：設(shè)計(jì)一個(gè)通道載波為N=256、原型濾波器長度L=3N-1和L=4N-1的FBMC-OQAM系統(tǒng)。此外，頻率采樣法^[13]、優(yōu)化頻率采樣法^[15]、窗函數(shù)法^[17]和αBB算法^[19]，在本文設(shè)計(jì)方法中設(shè)定η=1×10^-5和α=0.1，在L=3N-1和L=4N-1情況下，本文設(shè)計(jì)算法迭代3次便可達(dá)到終止條件，CPU運(yùn)行時(shí)間24 s(L=3N-1)和60 s(L=4N-1)，表1給出了5種方法所得到的FBMC-OQAM系統(tǒng)性能對比，并且得到的原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖2所示。從表1中可以看出本文設(shè)計(jì)方法提高了FBMC-OQAM系統(tǒng)整體性能，與文獻(xiàn)[19]中的αBB算法相比，本文設(shè)計(jì)方法損耗較小阻帶能量來得到更加小的MSE，并且當(dāng)L=4N-1、α=0.1時(shí)計(jì)算花費(fèi)的時(shí)間(60 s)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于αBB算法計(jì)算時(shí)間(1 803 s)；與其他方法比較，本文方法通過控制權(quán)值，可以更加靈活地平衡系統(tǒng)ISI/ICI與阻帶能量之間的關(guān)系，從而得到整體性能更加良好的FBMC-OQAM系統(tǒng)。

    例2：設(shè)計(jì)一個(gè)大規(guī)模通道載波FBMC-OQAM系統(tǒng)，其中：載波通道為1 024，原型濾波器長度L=3N-1，α=0.1，表2給出所得FBMC-OQAM系統(tǒng)性能，同時(shí)原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖3所示。

4 結(jié)束語

    本文圍繞如何有效地設(shè)計(jì)FBMC-OQAM系統(tǒng)的原型濾波器問題，提出了一種基于無約束優(yōu)化的快速算法，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)綜合考慮FBMC-OQAM系統(tǒng)的ISI/ICI和阻帶能量。基于推導(dǎo)出的目標(biāo)函數(shù)的梯度向量和海森矩陣，采用修正牛頓算法快速有效地求解了該優(yōu)化問題。原型濾波器的迭代更新有閉合解，該方法計(jì)算復(fù)雜度低，適用于大規(guī)模系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。理論分析和仿真結(jié)果聯(lián)合表明，本文方法設(shè)計(jì)得到的FBMC-OQAM系統(tǒng)相比于現(xiàn)有方法有著更好的整體性能。

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作者信息:

穆亞起

(桂林電子科技大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，廣西 桂林541004)