馬健超1,2，陳國(guó)棟1,2，周霆1,2

　?。?.福州大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，福建 福州 350116；2.福州大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖像圖形研究所，福建 福州 350116）

　　摘要：虛擬手術(shù)系統(tǒng)研究是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一個(gè)重要領(lǐng)域，為了提高肌肉纖維紋理合成的真實(shí)感與實(shí)時(shí)性，文章采用了基于場(chǎng)向參數(shù)化的方法，并結(jié)合最光滑方向場(chǎng)進(jìn)行了三維模型上的肌肉纖維紋理映射與合成，通過布置奇異點(diǎn)，模擬肌肉纖維損傷的狀態(tài)。該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了場(chǎng)向參數(shù)化的可視化及肌肉纖維紋理合成的簡(jiǎn)單交互，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性與真實(shí)感均得到提高。

　　關(guān)鍵詞：虛擬手術(shù)；場(chǎng)向參數(shù)化；最光滑方向場(chǎng)；紋理合成

　　中圖分類號(hào)：TP391.41文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.09.006

　　引用格式：馬健超，陳國(guó)棟，周霆.基于場(chǎng)向參數(shù)化的肌肉纖維紋理合成研究［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36（9）：18-21.

0引言

　　隨著現(xiàn)代醫(yī)學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，借助計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)分析處理醫(yī)學(xué)問題成為了醫(yī)學(xué)研究和計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)的熱點(diǎn)，虛擬手術(shù)就是其中一個(gè)重要的學(xué)科發(fā)展方向，其具有沉浸性、交互性等特點(diǎn)［1］。

　　在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，紋理的應(yīng)用是增強(qiáng)真實(shí)感的有效方法，對(duì)于三維表面紋理合成，實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是將二維紋理映射到三維表面，并且不產(chǎn)生走樣和扭曲。現(xiàn)有方法通常是把表面領(lǐng)域通過參數(shù)化方法展平，然后沿著表面局部坐標(biāo)系進(jìn)行采樣，將采樣得到的平面領(lǐng)域與樣本紋理的領(lǐng)域進(jìn)行比較［2］。Praun［3］等人提出用重疊紋理技術(shù)來合成三維表面紋理，該算法需要較多的人工干預(yù)；Wei［4］等人把表面紋理的顏色信息存儲(chǔ)在模型的頂點(diǎn)上，根據(jù)松弛算法生成方向場(chǎng)來定義三維表面局部坐標(biāo)系，但合成速度不理想；Turk［5］等人使用密集模型保存豐富紋理細(xì)節(jié)，對(duì)每個(gè)目標(biāo)領(lǐng)域進(jìn)行局部參數(shù)化，合成速度較慢。這些方法都從圖像特征的統(tǒng)計(jì)相似性來解決問題，但不能很好地繪制出肌肉纖維紋理的特點(diǎn)。骨骼肌由肌腹和肌腱構(gòu)成，肌腹由大量的橫紋纖維構(gòu)成，不同部位間纖維方向差異較大，而肌腱由腱腱纖維構(gòu)成［6］，肌肉損傷的表現(xiàn)為肌肉纖維沿筋膜面羽毛狀擴(kuò)展，或向鄰近肌肉擴(kuò)展［7］。

　　為了提高虛擬手術(shù)中肌肉纖維仿真的真實(shí)感和實(shí)時(shí)性，本文從幾何學(xué)的角度來看待這個(gè)問題，采用最光滑方向場(chǎng)與場(chǎng)向參數(shù)化相結(jié)合，在Ray［8］等人的全局場(chǎng)面參數(shù)化方法的基礎(chǔ)上，允許加入新的奇異點(diǎn)，以此來仿真肌肉損傷，并省略了旋度校正和單位化約束，使用一個(gè)簡(jiǎn)單的凸二次能量來規(guī)劃問題，算法速度得到提升，通過簡(jiǎn)單的交互，可以實(shí)時(shí)改變最光滑方向場(chǎng)的方向，從而得到三維模型上不同方向的肌肉纖維紋理，可應(yīng)用到虛擬手術(shù)中。

　　本文實(shí)現(xiàn)的整體算法流程如圖1所示，通過讀取三維網(wǎng)格模型，如OBJ格式，使用重新定義的狄利克雷能量來獲取最光滑方向場(chǎng)，使用該方向場(chǎng)進(jìn)行參數(shù)化，得到相應(yīng)的紋理坐標(biāo)，最后使用模型加載庫Assimp及OpenGL等開源庫進(jìn)行紋理的合成。

1最光滑方向場(chǎng)

　　1.12-方向場(chǎng)

　　本文中的方向場(chǎng)指的是單位長(zhǎng)度的矢量場(chǎng)，方向場(chǎng)的度n指的是曲面上每一點(diǎn)有n等間隔分布的方向場(chǎng)。如圖2所示，左圖為n為1時(shí)，即傳統(tǒng)意義上的場(chǎng);右圖為n為2時(shí)，稱為2方向場(chǎng)［9］，每一點(diǎn)由兩個(gè)方向相反的單位矢量組成。這些方向場(chǎng)通常存在奇異點(diǎn)，即方向場(chǎng)在該點(diǎn)無法光滑地變化，注意，本文產(chǎn)生的方向場(chǎng)將自動(dòng)地布置奇異點(diǎn)的個(gè)數(shù)與位置。

　　本文將曲面M上的一點(diǎn)的切空間視為復(fù)數(shù)域C的副本，其上的切矢量可用復(fù)數(shù)乘以一個(gè)基矢量來表示，若以實(shí)軸為基矢量，再通過平方，得到一個(gè)不需要考慮單位約束的方向場(chǎng)的表示方法，為：

　　u=z2=ei2kπ,k=0,1(1)

　　1.2光滑能量

　　通過使用狄利克雷能量來測(cè)量2方向場(chǎng)ψ的光滑度［10］，表示協(xié)變導(dǎo)數(shù)，也就是曲面上的列維奇維塔聯(lián)絡(luò)，表示為：

　　但方向場(chǎng)中，在奇異點(diǎn)處該能量變得無限大，導(dǎo)致該公式失去意義，而每一個(gè)2方向場(chǎng)可寫成一個(gè)比例因子與單位方向場(chǎng)的乘積，即：

　　ψ=aφ(3)

　　將所有的ψ中最小的狄利克雷能量定義為2方向場(chǎng)的能量，即式(4)，此時(shí)奇異點(diǎn)處的能量將變?yōu)榱悖瑥亩鉀Q了上述的問題。

　　遍歷所有方向場(chǎng)，從而得到全局最小化的方向場(chǎng)，也就是最光滑方向場(chǎng)，由于經(jīng)過了縮放的2方向場(chǎng)的集合與2矢量場(chǎng)的集合是沒有區(qū)別的，所以可以替而求解。

　　這意味著一個(gè)最小特征值的問題，三維網(wǎng)格上所有方向場(chǎng)ψ都是分段線性的，將其表示為基底的復(fù)線性組合，V代表點(diǎn)集。

　　式(5)的問題轉(zhuǎn)化為求解特征向量的問題。等式(7)中，A是一個(gè)相對(duì)于分段線性基底Ψi的埃爾米特矩陣，M是埃爾米特質(zhì)量矩陣，使用逆冪迭代法來求解，得出最光滑方向場(chǎng)。

　　Au=λMu(7)

　　2場(chǎng)向參數(shù)化

　　2.1坐標(biāo)函數(shù)

　　首先需要選擇參數(shù)化后的坐標(biāo)函數(shù)的表達(dá)形式，Ray［8］等人和Zhang［11］等人提出使用復(fù)數(shù)域的矢量值函數(shù)，其角度分量提供最終的坐標(biāo)，但每一點(diǎn)有一個(gè)四階的懲罰項(xiàng)，導(dǎo)致了非凸規(guī)劃問題，所以本算法忽略了這一項(xiàng)，同樣使用一個(gè)復(fù)數(shù)域的矢量值函數(shù)ψ，用其幅角α作為參數(shù)化后的坐標(biāo)，為：

　　α=argψ(8)

　　設(shè)定最光滑方向場(chǎng)為X，每點(diǎn)的單位化函數(shù)為：

　　φ=eiα(9)

　　角α只沿著方向X以速率ν來變化，通過微分，得到

　　dφ=iωφ(10)

　　這意味著通過求解該等式可以得到角速度ω，但需要方向場(chǎng)總是可積的，因此考慮它的L2殘差：

　　其中算子c=d－iω恰好是曲面M上的一個(gè)聯(lián)絡(luò)，ε可以被認(rèn)為是在一個(gè)復(fù)變函數(shù)上的狄利克雷能量，所以定義單位化函數(shù)φ能量為比例函數(shù)a下，所有可能的最小的狄利克雷能量：

　　在單位化函數(shù)φ上的能量極小化是等價(jià)于在所有復(fù)變函數(shù)ψ上的狄利克雷能量極小化：

　　因此對(duì)應(yīng)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的求解特征值的問題，ψ為特征函數(shù)，Δs為薛定諤算子。

　　Δsψ=λψ(14)

　　2.2不可定向特征

　　方向場(chǎng)中存在不可定向的點(diǎn)，即在奇異點(diǎn)有不可定向的特征，引進(jìn)Kalberer［12］等人提出的二次覆蓋的概念。除了奇異點(diǎn)之外，二次覆蓋看起來就像原曲面的副本，但算法中并沒有實(shí)際地去構(gòu)造二次覆蓋，只是用這一思想來解決奇異點(diǎn)的問題。圖3為二次覆蓋于原曲面的示意圖，MD為二次覆蓋，M為原曲面，τ稱為片交換函數(shù)，ρ將二次覆蓋映射回原曲面，曲面M上的線場(chǎng)，在MD上任意選擇其中一個(gè)方向的場(chǎng)。

　　2.3離散化

　　三角網(wǎng)格上，每一個(gè)頂點(diǎn)i∈V，用單位切矢量Xi和目標(biāo)線頻率νi∈R+共同定義了矢量Zi=νiXi，離散化算法的具體步驟如下：

　　輸入：二維單純復(fù)形K（三角網(wǎng)格）。

　　過程：

　　（1）將Z投影到每一條邊上，得到角位移ω；

　?。?）構(gòu)建類拉普拉斯矩陣A，元素由ω決定；

　?。?）求矩陣A最小特征值對(duì)應(yīng)特征向量ψ 。

　　輸出：每一個(gè)面上，通過ψ和ω得到計(jì)算紋理坐標(biāo)α。

　　首先求得角位移ωij，即邊矢量與輸入矢量場(chǎng)的內(nèi)積

　　的平均值。

　　ωij=∫ijω=12(〈eij,Zi〉+〈eij,Zj〉)(15)

　　然后每個(gè)三角形構(gòu)建類余切拉普拉斯矩陣，即薛定諤算子的離散化。該矩陣A是正定對(duì)稱，與余切拉普拉斯矩陣有相同結(jié)構(gòu)，對(duì)于每個(gè)正則邊ij∈E，非對(duì)角塊為：

　　Aij=－wij［eiωij］,sij=－1

　?。瓀ij［eiωij］,sij=+1

　　Aji=ATij(16)

　　矩陣A的對(duì)角塊為：

　　Aii=∑ij∈E［ωij］(17)

　　塊對(duì)角集總質(zhì)量矩陣為B，用Aijk表示三角形ijk的面積，對(duì)角元素為關(guān)聯(lián)三角形總面積的三分之一。

　　Bii=13∑ijk∈FAijk(18)

　　存在ψi=ai+bii的某個(gè)值來使ε最小，用ai,bi∈R值交替組成的一個(gè)矢量x，通過求解式(19)的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量x，使用喬里斯基分解矩陣A，然后應(yīng)用逆冪法來求解。

　　Ax=λBx(19)

　　求得ψ后，如果僅通過式(8)來求最終的坐標(biāo)函數(shù)α，將產(chǎn)生畸變與扭曲，因此采用旋轉(zhuǎn)形式進(jìn)行調(diào)整，最終坐標(biāo)為：

　　αjki:=arg(ψi)

　　αkij:=arg(ψi)+σij

　　αijk:=arg(ψi)+σik(20)

3結(jié)果與分析

　　3.1編程環(huán)境與開源庫

　　本課題使用系統(tǒng)為Window 7，編程環(huán)境為VS2012，處理器為2.40 GHz，內(nèi)存8 GB，顯卡為AMD Radeon 6550M。采用了開源庫SuiteSparse來實(shí)現(xiàn)對(duì)稀疏矩陣的運(yùn)算，選用了模型加載庫Assimp，選用的三維模型格式是OBJ格式，還有OpenGL及其擴(kuò)展庫GLUT和GLEW處理窗口的創(chuàng)建、基本的交互，使用著色語言GLSL編寫了頂點(diǎn)著色器和片段著色器。

　　3.2紋理合成結(jié)果與分析

　　圖4展示了整個(gè)紋理合成的過程，使用模型的面片數(shù)為6 142片，（a）為導(dǎo)入模型后顯示的三角網(wǎng)格模型；（b）為場(chǎng)向參數(shù)化的可視化，可看到奇異點(diǎn)（分叉點(diǎn)）；（c）為模型表面紋理合成后的效果；（d）為紋理合成的細(xì)節(jié)圖，可以看到紋理的方向與方向場(chǎng)一致；（e） 為所使用的紋理圖片。圖5為圖4的2方向場(chǎng)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)90°后的可視化結(jié)果，從右圖可以看到肌肉纖維紋理的方向已經(jīng)發(fā)生了改變，但是同樣與方向場(chǎng)方向保持一致。

　　圖6展示的是參數(shù)化中奇異點(diǎn)與紋理合成后細(xì)節(jié)的對(duì)比，使用的模型的面片數(shù)為15 418片，可以看到紋理在奇異點(diǎn)處發(fā)生了分叉，但總體還是保持連續(xù)的，以此來模擬肌肉的輕微損傷，左圖為場(chǎng)向參數(shù)化的可視化，右圖為奇異點(diǎn)處的紋理細(xì)節(jié)。

　　通過對(duì)不同面片數(shù)的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到了以下的對(duì)比數(shù)據(jù)，表1表明了面片數(shù)從1 K~16 K的幾種情況下，紋理合成所需要的時(shí)間基本控制在0.5 s以內(nèi)，這樣的性能是符合進(jìn)行實(shí)時(shí)操作和交互的。表2通過與其他算法的對(duì)比，列出了部分?jǐn)?shù)據(jù)，表明了本文所使用的算法性能得到提升，計(jì)算所需時(shí)間平均縮短為算法1的35.2%。

4結(jié)論

　　本文基于場(chǎng)向參數(shù)化的方法，結(jié)合了最光滑方向場(chǎng)，并使用了一系列開源庫，實(shí)現(xiàn)了對(duì)肌肉纖維紋理的合成，最終的系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)操作與交互，在保證真實(shí)感的同時(shí)，也證明了所使用算法的性能有較大的提高，為虛擬手術(shù)中肌肉手術(shù)的場(chǎng)景的進(jìn)一步研究提供了條件。

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