《電子技術(shù)應(yīng)用》
您所在的位置：首頁 > 微波|射頻 > 設(shè)計(jì)應(yīng)用 > 基于自適應(yīng)變步長歐拉法的NURBS曲面爬行波尋跡算法
基于自適應(yīng)變步長歐拉法的NURBS曲面爬行波尋跡算法
2018年電子技術(shù)應(yīng)用第7期
曹 拓，付 松，何思遠(yuǎn)
武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢430072
摘要： 雖然一致性幾何繞射理論（UTD）理論上可以應(yīng)用于由非均勻有理B樣條（NURBS）建模的任意形狀的曲面，但UTD表面衍射場的計(jì)算中有一個(gè)巨大挑戰(zhàn)，即難以確定爬行波在任意形狀的NURBS表面上傳播的測地線路徑。在微分幾何中，測地路徑滿足測地微分方程（GDE）。因此，引入了一種通用且高效的自適應(yīng)變量歐拉法來解決任意形狀的NURBS曲面上的GDE。與傳統(tǒng)的歐拉法相比，所提出的方法采用形狀因子（SF）ξ來有效提高跟蹤精度，并擴(kuò)展了UTD在實(shí)際工程中的應(yīng)用。 算法的有效性和有用性可以通過數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。
中圖分類號： TN926
文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.180908
中文引用格式： 曹拓，付松，何思遠(yuǎn). 基于自適應(yīng)變步長歐拉法的NURBS曲面爬行波尋跡算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2018，44(7)：19-23.
英文引用格式： Cao Tuo，F(xiàn)u Song，He Siyuan. Creeping-ray tracing algorithm for arbitrary NURBS surfaces based on adaptive variable step Euler method[J]. Application of Electronic Technique，2018，44(7)：19-23.
Creeping-ray tracing algorithm for arbitrary NURBS surfaces based on adaptive variable step Euler method
Cao Tuo，F(xiàn)u Song，He Siyuan
Electronic Information College，Wuhan University，Wuhan 430072，China
Abstract： Although the uniform theory of diffraction(UTD) could be theoretically applied to arbitrarily-shaped convex objects modeled by non-uniform rational b-splines(NURBS), one of the great challenges in calculation of the UTD surface diffracted fields is the difficulty in determining the geodesic paths along which the creeping waves propagate on arbitrarily-shaped NURBS surfaces. In differential geometry, geodesic paths satisfy geodesic differential equation(GDE). Hence, in this paper, a general and efficient adaptive variable step Euler method is introduced for solving the GDE on arbitrarily-shaped NURBS surfaces. In contrast with conventional Euler method, the proposed method employs a shape factor(SF) ξ to efficiently enhance the accuracy of tracing, and extends the application of UTD for practical engineering. The validity and usefulness of the algorithm can be verified by the numerical results.
Key words : creeping waves；ray-tracing；NURBS surfaces；geodesic differential equation；UTD

0 引言

    在高頻電磁問題中，一致性幾何繞射理論（UTD）應(yīng)用非常廣泛[1]，例如目標(biāo)散射特性預(yù)估。因此，在準(zhǔn)確獲得目標(biāo)表面UTD繞射場問題上，表面爬行射線波追蹤起著非常大的作用[2]。所以，首先要進(jìn)行目標(biāo)表面爬行波追蹤（測地線軌跡）。但是，實(shí)際上除了一些典型形體能夠直接得到測地線微分方程（GDE）外，在任意形狀的光滑物體表面如何測定測地線軌跡是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。

    JHA R M[3-5]提出了Geodesic Constant解析方法，但只在一般的拋物旋轉(zhuǎn)面適用。通常地，在工程應(yīng)用上，很多目標(biāo)被看作如木板、圓柱、圓錐和球等一些已經(jīng)有爬行波尋跡解析解的典型形體。但很難用這些典型形體去估計(jì)復(fù)雜形體，這似乎就限制了UTD方法的應(yīng)用。

    因此，需要介紹一下數(shù)值爬行波追蹤算法，該方法基于離散三角面剖分模型表面，但是不能直接應(yīng)用于UTD算法[6]。除了用離散三角形面片建立復(fù)雜模型，它還可以描述NURBS曲面。而且，NURBS曲面由于它的高精度、少面片的特性，被引用到高頻電磁分析領(lǐng)域。當(dāng)目標(biāo)用NURBS曲面表示后，測地線軌跡可由GDE求解直接獲得。所以，一些數(shù)值方法被用來計(jì)算GDE。為了獲得NURBS曲面上的爬行波軌跡[7]，歐拉方法效率高但是精度低，精度依賴于剖分面片外形，對于任意形狀模型可能會(huì)失效。

    為了提高在任意形狀NURBS表面爬行波追蹤的準(zhǔn)確性和效率，本文提出了一種基于新型自適應(yīng)變步長歐拉法的爬行波跟蹤算法。由于自適應(yīng)變步長歐拉方法是基于傳統(tǒng)的歐拉法，從而保證了效率；并在數(shù)值迭代求解GDE的過程中引進(jìn)形狀因子ξ，離散的步長可以及時(shí)自適應(yīng)地糾正。因此，與傳統(tǒng)的歐拉法相比，該方法可以很容易地保證其準(zhǔn)確性在任意形狀的NURBS表面上的爬行光線跟蹤。也就是說，它更適合于工程應(yīng)用。

1 任意形狀目標(biāo)NURBS曲面建模

    非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)曲面是非均勻B樣條曲面的有理推廣。它被定義為：

sp4-gs1-3.gif

    u、v參數(shù)域映射到3個(gè)空間可以在圖1中看到。

sp4-t1.gif

sp4-t1-x1.gif

sp4-t1-x2.gif

    下面在圖2中給出3個(gè)NURBS建模結(jié)果。其中圓柱的表面是均勻網(wǎng)格表面，而其他表面是不均勻網(wǎng)格表面。

sp4-t2.gif

2 任意NURBS曲面表面的爬行波追蹤算法

    對于源點(diǎn)和觀察點(diǎn)的位置，光滑曲面表面的繞射問題有3種類型：(1)源點(diǎn)和觀察點(diǎn)都不在表面且遠(yuǎn)離表面，這種情況屬于光滑曲面散射問題；(2)源點(diǎn)在曲面上，觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離表面，此時(shí)為光滑曲面輻射問題；(3)源點(diǎn)與觀察點(diǎn)都在表面上，這就屬于耦合問題[10]。

    所以，射線追蹤也有3種類型，根據(jù)圖3～圖5所示，在所有這些情況下，表面上的射線軌跡稱為爬行波，其被約束沿著測地線傳播。本文主要關(guān)注爬行波的射線追蹤，因?yàn)樗巧渚€追蹤過程中最困難的一部分。

sp4-t3.gif

sp4-t4.gif

sp4-t5.gif

2.1 爬行波的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)

    sp4-2.1-x1.gif

sp4-t6.gif

sp4-gs4-5.gif

    根據(jù)這兩個(gè)方程可以求解出NURBS曲面上大量的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)。

2.2 基于自適應(yīng)變步長歐拉法求解射線追蹤GDE

    由于任意形狀的表面上的爬行射線的路徑滿足GDE，因此可以將爬行射線的問題改為求解GDE的問題。一般來說，通過歐拉法求解GDE是一種簡單快捷的方法。但是根據(jù)研究，在大多數(shù)情況下由于傳統(tǒng)的歐拉法精度低，穩(wěn)定性不好，導(dǎo)致求解效果不好。

    對于非線性問題，基本上需要步進(jìn)控制校正程序。因此，本文中，為提高光線跟蹤的準(zhǔn)確性并確保效率，提出了自適應(yīng)變步長歐拉方法來求解GDE。

    GDE方程如下：

    sp4-gs6-7.gif

sp4-gs8-9.gif

其中，h是兩個(gè)相鄰離散點(diǎn)之間的步長，并且確定它是非常重要的。ξ是形狀因子（SF），用來自適應(yīng)地控制每個(gè)離散步長。而ξ的值受制于對象的形狀，關(guān)于ξ的更多細(xì)節(jié)將在2.3節(jié)中給出。

    在數(shù)值計(jì)算中，可以計(jì)算多個(gè)離散點(diǎn)(ui，vi)來表示爬行波，i=0，1，2…。因此，根據(jù)離散化，上式可以重寫為：

sp4-gs10-13.gif

    由式(13)可知，(ui+2，vi+2)能用(ui+1，vi+1)、(ui，vi)及ξi+1，i推導(dǎo)而出。必須計(jì)算出爬行射線最初的兩個(gè)坐標(biāo)(u0，v0)、(u1，v1)及ξ1，0，才能遞推出整個(gè)爬行射線。

    可以通過方程(4)獲得第一個(gè)點(diǎn)Q0(u0，v0)，然后由微分幾何，第二個(gè)點(diǎn)可由Q0在u，v各自方向切向量之和近似表示，如圖7所示。

sp4-t7.gif

    這里第二個(gè)點(diǎn)表示為：

sp4-gs14.gif

    形狀因子的一般表達(dá)式在2.3節(jié)中給出。根據(jù)表達(dá)式，可以確定得到ξ1，0。計(jì)算出(u0，v0)、(u1，v1)及ξ1，0后，(ui，vi)可以根據(jù)式(12)隨著i的增加逐步迭代算出。

2.3 形狀因子?孜的推導(dǎo)

    微分方程的精度與步長h有關(guān)，步長越小精度越高。然而，在迭代求解爬行波射線軌跡上的離散點(diǎn)的過程中，算法效率因離散點(diǎn)數(shù)的增加而減小，而且，離散點(diǎn)越多，累積誤差越大，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。

    顯然，為了逼近sp4-2.3-x1.gif如果在變量變化快的區(qū)域多取離散點(diǎn)而在變化慢區(qū)域少取離散點(diǎn)，就可以在保證計(jì)算效率的同時(shí)兼顧精度，所以合理提取離散點(diǎn)是很重要的。

    但是在實(shí)際情況中，無法得知確定的(u(s)，v(s))表達(dá)式，所以導(dǎo)致離散點(diǎn)無法合理提取。于是本文提出用形狀因子ξ來反映參數(shù)變化，用于確定離散步長。用ξ的離散值ξi+1，i來表示爬行射線相鄰點(diǎn)參數(shù)變化率。ξi+1，i的表達(dá)式如下：

sp4-gs15-17.gif

sp4-t8.gif

    設(shè)sp4-gs17-x1.gif為曲線C上P點(diǎn)處的單位切向量。P點(diǎn)處的離散編號為i。

    對方程(17)中的變量s求微分，可得單位切向量：

sp4-gs18-20.gif

3 數(shù)值算例與分析

    理論上可以在一些典型物體（如圓柱體、錐體）上計(jì)算爬行射線，因此，可以從這些對象的分析結(jié)果中驗(yàn)證所提出的方法是否有效。

3.1 圓柱體

    圖9所示為圓柱表面（均勻網(wǎng)格）爬行波射線傳播軌跡圖。圓柱的半徑為1 m，高為3 m。表1為爬行波尋跡結(jié)果，起始點(diǎn)為(1，0，0)。

sp4-t9.gif

sp4-b1.gif

    從表1可知，采用自適應(yīng)變步長歐拉法得到的數(shù)值結(jié)果與解析方法的結(jié)果吻合得非常好，由此可證明該尋跡算法正確性。

3.2 任意曲面目標(biāo)

    圖10所示為任意曲面表面（非均勻網(wǎng)格表面）爬行波射線傳播軌跡圖。根據(jù)微分幾何知識，球面上的數(shù)值結(jié)果可以直接由理論值得到驗(yàn)證。表2為爬行波尋跡結(jié)果，起始點(diǎn)為(1.0，0.0，0.0)。

sp4-t10.gif

sp4-b2.gif

    如圖10所示，提出的方法結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好。從表2和圖10可以看出，盡管隨著離散步長的增加歐拉方法的誤差減少了，但是耗時(shí)也增加了很多。更重要的是，如果離散步長繼續(xù)增加下去，結(jié)果完全錯(cuò)誤，這意味著歐拉方法不穩(wěn)定。

4 結(jié)論

    對于任意形狀NURBS目標(biāo)表面爬行波射線軌跡尋跡，本文提出了基于自適應(yīng)變步長歐拉法的快速有效的尋跡算法。為了驗(yàn)證該尋跡算法的正確性與有效性，給出了幾個(gè)典型驗(yàn)證算例。相比于傳統(tǒng)的歐拉法，自適應(yīng)變步長歐拉法不僅繼承了傳統(tǒng)歐拉法的效率高的優(yōu)勢，而且該算法適用于任意的光滑曲面。

參考文獻(xiàn)

[1] PATHAK P H，BURNSIDE W D，MARHEFKA R J.A uniform GTD analysis of the diffraction of electromagnetic waves by a smooth convex surface[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1980，28(5)：631-642.

[2] JHA R M，WIESBECK W.The geodesic constant method：a novel approach to analytical surface-ray tracing on convex conducting bodies[J].IEEE Antennas and Propagation Magazine，1995，37(5)：28-38.

[3] SURAZHSKY V，SURAZHSKY T，KIRSANOV D，et al.Fast exact and approximate geodesics on meshes[J].ACM Transactions on Graphics，2005，24(3)：553-560.

[4] JHA R M，BOKHARI S A.A novel ray tracing on general paraboloids of revolution for UTD applications[J].IEEE Antennas and Propagation Magazine，1993，41(7)：934-939.

[5] PEREZ J，CATEDRA M F.RCS of electrically large targets modeled with NURBS surfaces[J].Electronics Letters，1992，28(12)：1119-1122.

[6] PEREZ J，CATEDRA M F.Application of physical optics to the RCS computation of bodies modeled with NURBS surfaces[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1994，42(2)：1404-1411.

[7] 李坤，劉濤，王永建，等.基于小波變換的電力線通信信號識別研究[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2016，42（6）：113-120.

[8] BOCHM W.Generating the Bezier points of b-spline curves and surfaces[J].Computer Aided Design，1981，13(16)：365-366.

[9] Fu Song，Zhang Yunhua，He Siyuan，et al.Creeping ray tracing algorithm for arbitrary NURBS surfaces based on adaptive variable step Euler method[J].International Journal of Antennas and Propagation，2015(5)：1-12.

[10] 付松.介質(zhì)涂覆目標(biāo)表面爬行波尋跡及其電磁繞射建模方法研究[D].武漢：武漢大學(xué)，2015.



作者信息:

曹  拓，付  松，何思遠(yuǎn)

（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢430072）

此內(nèi)容為AET網(wǎng)站原創(chuàng)，未經(jīng)授權(quán)禁止轉(zhuǎn)載。