0 引言

    小波變換具有良好的多分辨率和時(shí)頻局域化的特點(diǎn), 因而成為分析非平穩(wěn)信號(hào)和瞬變信號(hào)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具^[1-2]。工程中的絕大多數(shù)信號(hào)均為瞬變、非平穩(wěn)信號(hào)，由于傅里葉變換不能提供信號(hào)的時(shí)頻域局域化分析，人們提出用短時(shí)窗分析信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換。但因分辨率單一，短時(shí)傅里葉變換僅適合分析近似平穩(wěn)信號(hào)或分段平穩(wěn)信號(hào)。為了能有效地分析非平穩(wěn)信號(hào)，從信號(hào)中提取特征信息，在時(shí)、頻兩域均有良好局域化分析能力的小波變換應(yīng)運(yùn)而生。目前，小波變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用不斷拓展，已被廣泛應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)、信號(hào)處理等方面^[3-4]。

    小波變換可以用數(shù)字和模擬兩種方式實(shí)現(xiàn)。目前，用數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)小波變換較為廣泛，但對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換會(huì)造成信號(hào)失真，數(shù)模轉(zhuǎn)換電路還會(huì)增加信號(hào)處理電路系統(tǒng)的體積與功耗，數(shù)據(jù)運(yùn)算量大難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理。在很多需要體積小、功耗低及實(shí)時(shí)處理的場(chǎng)合，例如在需對(duì)心電信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)分析的人工心臟起搏器的應(yīng)用中，數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)小波變換難以滿足應(yīng)用需要。這樣人們提出小波變換的模擬硬件電路實(shí)現(xiàn)，其具有不需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換，處理電路體積小、功耗低、數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)處理等特點(diǎn)。為了降低制造成本，當(dāng)前多采用數(shù)/模混合電路設(shè)計(jì)集成電路，因而集成電路的模擬部分要求采用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字CMOS工藝制造，符合這一條件的首推開關(guān)電流技術(shù)。開關(guān)電流電路是基于電流模式的取樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，用它處理模擬信號(hào)，具有高頻特性好、電壓低、功耗低、動(dòng)態(tài)范圍大等優(yōu)點(diǎn)^[5-6]。將開關(guān)電流技術(shù)用于實(shí)現(xiàn)小波變換，可以完成高速低功耗集成芯片的設(shè)計(jì)，滿足小波變換實(shí)時(shí)處理的應(yīng)用需求?；诖?，文章對(duì)小波變換實(shí)現(xiàn)進(jìn)行研究，提出采用開關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)小波變換，可廣泛應(yīng)用于語音分析、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、故障診斷等領(lǐng)域。

1 小波變換實(shí)現(xiàn)

    小波變換模擬實(shí)現(xiàn)方法可分為時(shí)域法和頻域法兩大類^[7-9]。根據(jù)小波變換定義：具有緊支集的平方可積函數(shù)Ψ(t)(Ψ(t)∈L²(R))為小波函數(shù)或小波基，信號(hào)f(t)是平方可積函數(shù)，則其在時(shí)域的小波變換定義為：

    選用不同小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換分析，其結(jié)果有可能相差很大，在工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況對(duì)小波基進(jìn)行選取。小波基選取的好壞以小波變換的信號(hào)處理結(jié)果與理論值之間的誤差來判斷，誤差越小，選擇的小波基越適合用于小波變換。一般來說，應(yīng)該從有效支撐區(qū)間大小、對(duì)稱性、正則性與被分析信號(hào)的相似性等方面考慮小波基的選擇^[1]。此外，若要獲取信號(hào)的相位信息需選用復(fù)小波。工程中常用的實(shí)小波主要有Daubechies小波，高斯類小波包括高斯一階導(dǎo)數(shù)小波、Marr小波、Morlet小波等，復(fù)小波常見的有Gabor小波、復(fù)Morlet小波等。

1.1 小波變換的時(shí)域?qū)崿F(xiàn)

    根據(jù)式(1)所示小波變換的時(shí)域表達(dá)可見：若能構(gòu)造一個(gè)能生成不同尺度a和位移τ下小波函數(shù)的小波函數(shù)發(fā)生器，其輸出與輸入信號(hào)相乘后積分即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的連續(xù)小波變換。這樣，時(shí)域法實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換的基本單元電路有：小波函數(shù)發(fā)生器、乘法器和積分器，圖１所示為時(shí)域法實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換的原理圖。

    由圖1可以看出，不同尺度與位移的小波由小波函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生，乘法器將輸入信號(hào)與小波函數(shù)相乘，運(yùn)算結(jié)果輸入積分器進(jìn)行積分運(yùn)算后完成信號(hào)的小波變換。小波變換采用時(shí)域法實(shí)現(xiàn)，能在時(shí)域直接由電路綜合實(shí)現(xiàn)，但需要種類繁多的單元電路[7]，如時(shí)鐘電路、正弦信號(hào)發(fā)生器、高斯函數(shù)發(fā)生器、乘法器和積分器等，而且每一個(gè)單元電路的性能會(huì)對(duì)整個(gè)小波變換的實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生較大的影響。因此，雖然時(shí)域法實(shí)現(xiàn)小波變換的原理較為直觀，但其實(shí)現(xiàn)過程較復(fù)雜、所需單元電路種類較多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致系統(tǒng)設(shè)計(jì)難度較大，近年來所取得的研究成果較少，目前更多的研究已轉(zhuǎn)向小波變換的頻域法實(shí)現(xiàn)。

1.2 小波變換的頻域?qū)崿F(xiàn)

    小波變換頻域表達(dá)式如下：

其中，“*”代表共軛，a為尺度因子，F(xiàn)(ω)、Ψ(ω)分別為信號(hào)與小波函數(shù)的頻域表達(dá)。根據(jù)式(2)所示頻域小波變換表達(dá)可見：在頻域中，信號(hào)的小波變換可等效為在不同尺度a下，具有頻率特性為Ψ(aω)且品質(zhì)因數(shù)恒定的帶通濾波器對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波后的輸出結(jié)果。根據(jù)信號(hào)處理理論，信號(hào)與小波函數(shù)的卷積就是信號(hào)通過以該函數(shù)特性為沖激響應(yīng)系統(tǒng)的輸出。這樣，只要構(gòu)造沖激響應(yīng)為不同尺度小波函數(shù)的濾波器組，則信號(hào)通過該濾波器組后的輸出就是信號(hào)的小波變換。綜上所述，小波變換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為構(gòu)造沖激響應(yīng)為尺度不同小波函數(shù)的濾波器組^[8]，這樣可將小波變換從時(shí)域變換到頻域?qū)崿F(xiàn)。此外，在構(gòu)造不同尺度與位移的小波濾波器時(shí)，要保證中心頻率與頻寬(帶寬)之比也即品質(zhì)因數(shù)Q與尺度a值無關(guān)。圖2所示為小波變換的頻域法實(shí)現(xiàn)原理圖。

    圖2濾波器組中的每路濾波器的沖激響應(yīng)均為該尺度下的小波函數(shù)。小波變換尺度取a=2ⁿ(n∈Z)，這是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有冗余性，工程應(yīng)用中尺度a不需連續(xù)變化，實(shí)際應(yīng)用只需將尺度a離散化即可。小波變換的尺度越多，所需的濾波器數(shù)量也越多，這必然會(huì)提高小波變換實(shí)現(xiàn)電路的復(fù)雜程度，從而增大電路體積與功耗，不利于制成低功耗集成芯片。在實(shí)際工程應(yīng)用中，往往在檢測(cè)信號(hào)時(shí)只需選擇較少個(gè)數(shù)的尺度來計(jì)算小波變換系數(shù)即可滿足實(shí)用要求，這樣將減少所需濾波器的數(shù)量，降低設(shè)計(jì)難度。

2 小波變換模擬濾波器設(shè)計(jì)

    由小波變換的頻域法實(shí)現(xiàn)原理可知，小波變換模擬濾波器實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)沖激響應(yīng)為小波基的基本小波濾波器，小波濾波器組中其他尺度的小波濾波器可以通過對(duì)基本小波濾波器進(jìn)行尺度調(diào)節(jié)而獲得。以高斯一階導(dǎo)數(shù)小波為例，研究沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器實(shí)現(xiàn)。高斯一階導(dǎo)數(shù)小波表達(dá)如式(3)所示：

且其拉普拉斯變換為穩(wěn)定的有理多項(xiàng)式，即：

    圖3給出了高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及其逼近，可以看出以式(6)為傳遞函數(shù)的濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)對(duì)高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的逼近效果良好。

3 開關(guān)電流小波濾波器電路實(shí)現(xiàn)與仿真

    開關(guān)電流電路是基于電流模的模擬取樣數(shù)據(jù)信號(hào)處理電路，具有高頻特性好、功耗低、適于低電壓工作、動(dòng)態(tài)范圍大等優(yōu)點(diǎn)，由于是電流模式電路，它不需要運(yùn)算放大器，從而消除了運(yùn)算放大器帶來的限制和誤差；不需要線性浮置電容，從而與標(biāo)準(zhǔn)的CMOS工藝完全兼容，便于電路的大規(guī)模集成。開關(guān)電流技術(shù)自提出以來就備受關(guān)注，并得到迅速發(fā)展，其主要成果集中在濾波器的設(shè)計(jì)方面。開關(guān)電流濾波器特性取決于元件參數(shù)的比值及時(shí)鐘頻率，其帶寬隨時(shí)鐘頻率變化而變化，與此同時(shí)品質(zhì)因數(shù)能保持恒定，非常適合小波濾波器組的實(shí)現(xiàn)^[7-9]：當(dāng)構(gòu)造出沖激響應(yīng)為小波基的開關(guān)電流基本小波濾波器后(尺度a=1)，在開關(guān)電流濾波器允許的時(shí)鐘頻率范圍內(nèi)，調(diào)節(jié)時(shí)鐘頻率可實(shí)現(xiàn)不同尺度的開關(guān)電流小波濾波器。這極大地簡(jiǎn)化了小波濾波器組的設(shè)計(jì)難度，其設(shè)計(jì)主要變?yōu)閷?duì)基本小波濾波器的設(shè)計(jì)。

    開關(guān)電流基本小波濾波器可采用電路級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，該方式具有模塊性和簡(jiǎn)易性等優(yōu)點(diǎn)。以式(6)為傳遞函數(shù)的高斯一階導(dǎo)數(shù)小波變換濾波器是一個(gè)5階電路，可由1個(gè)開關(guān)電流一階節(jié)電路和2個(gè)二階節(jié)電路級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。開關(guān)電流一階節(jié)電路、二階節(jié)電路分別如圖4、圖5所示。

    在進(jìn)行電路仿真前應(yīng)對(duì)式(6)所示的傳遞函數(shù)去歸一化。因?yàn)閺膕域到z域之間存在由非線性關(guān)系引起的頻率翹曲效應(yīng)，應(yīng)進(jìn)行頻率預(yù)翹處理。若取樣頻率遠(yuǎn)大于工作頻率，則頻率翹曲效應(yīng)較小，可以不進(jìn)行頻率預(yù)翹處理。

    電路仿真采用開關(guān)電流專用仿真軟件ASIZ(Analysis of Switched-current Filters in Z Transform)進(jìn)行仿真^[10]，ASIZ可對(duì)開關(guān)電流電路仿真獲得瞬態(tài)響應(yīng)、頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)和靈敏度。設(shè)定電路仿真時(shí)鐘頻率為10 kHz，用ASIZ仿真獲得基本尺度(a=2⁰)上的小波，高斯一階導(dǎo)數(shù)基本小波濾波器的沖激響應(yīng)如圖6所示。

    為了產(chǎn)生更多尺度上的小波函數(shù)，在其他尺度上的開關(guān)電流小波濾波器可通過調(diào)節(jié)開關(guān)電流基本小波濾波器的時(shí)鐘頻率獲得。如將時(shí)鐘頻率分別設(shè)定為20 kHz和40 kHz，即可獲得尺度為a=2^-1、a=2^-2的小波濾波器。作為對(duì)比，圖7所示仿真結(jié)果是時(shí)鐘頻率分別為10 kHz、20 kHz和40 kHz，也即在尺度為a=2⁰、a=2^-1和a=2^-2上的小波濾波器的沖激響應(yīng)，其電路仿真輸出波形分別是圖7中的曲線①、曲線②和曲線③。

    圖6和圖7所示的電路仿真結(jié)果充分證明用開關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)小波濾波器的效果非常理想，且只需調(diào)節(jié)開關(guān)電流基本小波濾波器的時(shí)鐘頻率，用同一濾波器電路即可實(shí)現(xiàn)其他尺度上的小波濾波器，極大地簡(jiǎn)化了小波濾波器組的設(shè)計(jì)。

4 結(jié)論

    本文提出了基于開關(guān)電流電路的小波變換模擬實(shí)現(xiàn)。根據(jù)小波變換的定義，研究了在時(shí)域、頻域的小波變換實(shí)現(xiàn)方法，給出了工程應(yīng)用中小波基選取的原則，對(duì)頻域?qū)崿F(xiàn)小波變換進(jìn)行小波函數(shù)逼近，獲得了小波變換模擬濾波器所需的傳遞函數(shù)。采用開關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)基本小波濾波器，通過調(diào)節(jié)時(shí)鐘頻率獲得小波濾波器組所需的其他尺度的小波濾波器，簡(jiǎn)化了小波濾波器組的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。本文提出方法的有效性得到了仿真結(jié)果的驗(yàn)證，其對(duì)小波變換在工程中的應(yīng)用發(fā)展具有促進(jìn)作用。

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作者信息:

胡沁春1，霍  平2，尤小泉1，張  松1，郭麗芳1，譚化勇1

（1.成都工業(yè)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)與通信工程學(xué)院，四川 成都611730；2.成都工業(yè)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，四川 成都611730