0 引言

    采樣作為數(shù)字處理的前提和基礎(chǔ)，一直以來都是信號處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)。但是隨著各領(lǐng)域信號帶寬不斷增加，信號頻率不斷增大，目前的商用數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換設(shè)備（Analog-to-Digital Convertor，ADC）已經(jīng)難以達(dá)到所需的采樣率要求，就算達(dá)到了采樣率要求，大量的樣本數(shù)據(jù)的存儲和傳輸也將是一大難題。壓縮感知(Compressed Sensing，CS)^[1-2]的出現(xiàn)解決了稀疏寬帶信號采樣后數(shù)據(jù)量過大的問題，ELDAR Y^[3-4]團(tuán)隊基于此理論提出了調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Modulated Wideband Converter，MWC)系統(tǒng)及其硬件實現(xiàn)方案，實現(xiàn)了稀疏多帶信號的同步壓縮采樣。由于通信、雷達(dá)、醫(yī)療等應(yīng)用領(lǐng)域的信號都可以建模為稀疏多帶信號，因此MWC結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的實用性。MWC由天線作為信號接收裝置，接收到的無線傳輸信號為低功率信號，信號不可避免會混入噪聲，現(xiàn)有的重構(gòu)算法都對噪聲比較敏感^[5-11]，這將直接影響恢復(fù)效果。因此有必要將經(jīng)過MWC系統(tǒng)得到的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，去除噪聲后再進(jìn)行重構(gòu)。

    本文將小波閾值去噪的思想引入到MWC系統(tǒng)中，為了盡可能保留信號的邊緣信息，提出了基于小波區(qū)域閾值去噪的優(yōu)化還原算法。首先對樣本進(jìn)行平穩(wěn)小波變換（Stationary Wavelet Transform，SWT），根據(jù)設(shè)計的小波系數(shù)的選取規(guī)則選擇將小波系數(shù)置零或保留；然后通過小波重構(gòu)恢復(fù)信號,得到去噪過后的樣本數(shù)據(jù)，將去噪過后的樣本信號與去噪前的樣本信號相加作為新的樣本，利用現(xiàn)有恢復(fù)算法求解支撐集，將該支撐集與不去噪直接求解的支撐集求并集得到最終的支撐集，最后通過求偽逆得到原始信號的恢復(fù)信號。

1 MWC的研究現(xiàn)狀

    MWC^[3]的系統(tǒng)框圖如圖1所示，稀疏多帶信號x(t)同時進(jìn)入m個通道，與在各通道內(nèi)的周期為T_p的在±1之間隨機(jī)變化的偽隨機(jī)序列p_i(t)進(jìn)行混頻。混頻后通過截止頻率為f_s/2的低通濾波器進(jìn)行濾波，其中f_s=1/T_s。最后通過采樣率為f_s的ADC得到m組采樣序列y_i(n)。將采樣序列y_i(n)送入恢復(fù)算法進(jìn)行恢復(fù)，即可求得原始稀疏多帶信號x(t)的支撐集，進(jìn)而通過頻譜逆搬移重建出信號。

    支撐集重構(gòu)作為MWC系統(tǒng)的核心部分之一，一直以來都廣受關(guān)注^[5-11]。近年來提出的多種算法中正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法^[5]是最經(jīng)典的恢復(fù)算法。ReMBo^[6]、RPMB^[7]、RMMV^[8]、MVT等算法都在一定程度上提高了恢復(fù)速率，ISOMP算法^[10]提高了在高信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）條件下的信號重構(gòu)概率。由上可知，目前的MWC恢復(fù)算法研究大多集中于提高恢復(fù)速率及改進(jìn)高SNR條件下的恢復(fù)率，在對低信噪比下的恢復(fù)性能的改善方面沒有太多進(jìn)展。

2 基于小波區(qū)域閾值去噪的MWC優(yōu)化還原算法

    傳統(tǒng)的信號去噪方法主要有：傅里葉變換、Wiener濾波、中值濾波、均值濾波、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）、小波變換等。傅里葉變換去噪適用于信號與噪聲不重合或重合較少的情況，在MWC系統(tǒng)中，采樣之前已經(jīng)有一個低通濾波器濾除了不需要的高頻部分，剩下的低頻部分中信號與噪聲是重疊的。Wiener濾波適用于信號的基準(zhǔn)信號已知的情況，而MWC系統(tǒng)中，樣本信號來源于輸入信號x(t)與偽隨機(jī)序列p_i(t)的混頻，是完全隨機(jī)的，無法提供該基準(zhǔn)信號。中值濾波與均值濾波都對噪聲進(jìn)行平滑，對沖擊變化的保留效果不好。EMD分解^[12]速度非常慢，嚴(yán)重影響了MWC的恢復(fù)速率。而小波變換由于其多分辨率特性，能夠有效檢測到信號的突變點(diǎn)，進(jìn)而區(qū)分信號的突變部分和噪聲，從而廣泛地應(yīng)用于信號和圖像的去噪^[13-14]。

    小波變換與傅里葉變換不同，傅里葉變換在頻域有較好的局部化能力，但是在時域沒有局部化能力，在頻域的微小變化都會使時域每個位置的值產(chǎn)生變化。而小波變換在時頻域都是局部的，能很好地對各時刻附近的頻率信息進(jìn)行處理。因為MWC中輸入信號x(t)是實時連續(xù)信號，偽隨機(jī)序列p_i(t)是隨機(jī)的序列，所以樣本信號是完全隨機(jī)的，在任一時刻附近的頻率特征都很重要。所以用小波變換分析MWC樣本將大大提高準(zhǔn)確率。且快速傅里葉變換的時間復(fù)雜度是O(nlog₂(n))，而快速小波變換的時間復(fù)雜度是O(n)，所以一般情況下，快速小波變換比傅里葉變換快。用下面的公式定義f(n)，n=1，…，N的小波分解：

2.1 小波閾值去噪原理

    DONOHO D^[15]提出小波閾值去噪以來，很多人在其上做了改進(jìn)。主要思想為：對含噪信號進(jìn)行各尺度下的小波分解，保留大尺度下的全部小波系數(shù)，對于各小尺度下的小波系數(shù)設(shè)定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)完整保留或做相應(yīng)收縮處理，最后將處理過后的小波系數(shù)利用小波逆變換進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號。

    對小波系數(shù)一般采用軟閾值和硬閾值方法進(jìn)行處理^[16]。軟硬閾值各有優(yōu)缺點(diǎn)，軟閾值整體連續(xù)性好，但是軟閾值函數(shù)對大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行恒定壓縮，直接影響了重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度，而硬閾值則相反，本文采用如式(2)所示的閾值折中方法，利用一個調(diào)節(jié)因子α對閾值進(jìn)行調(diào)節(jié)，在SNR較低時可將其設(shè)置得大一點(diǎn)，SNR較高時可設(shè)置得小一點(diǎn)，一定程度上避免了過平滑帶來的失真。

2.2 小波區(qū)域閾值去噪

    以上的小波閾值去噪在去除噪聲的同時將幅度較小的信號也去除了，直接影響重構(gòu)信號的準(zhǔn)確度。考慮到噪聲幅度是隨機(jī)的，但是信號幅度是連續(xù)變化的，所以本文提出了基于小波區(qū)域閾值去噪的MWC優(yōu)化還原算法，首先對樣本進(jìn)行小波區(qū)域閾值去噪，然后將MWC樣本去噪后與原樣本相加得到新的樣本，達(dá)到增強(qiáng)信號的目的，再用現(xiàn)有恢復(fù)算法求解支撐集，將該支撐集與不去噪直接求解的支撐集求并集得到最終的支撐集，最后通過求偽逆得到原始信號的恢復(fù)信號。該去噪方法能在有效平滑噪聲的同時保留信號的邊緣特性，如式（3）所示：

3 實驗仿真與結(jié)果分析

    為了驗證本算法的有效性，本節(jié)設(shè)計了3個實驗：

    (1)隨機(jī)取一個單通道的樣本，進(jìn)行小波區(qū)域閾值去噪，對比去噪前后的樣本信號。

    (2)利用OMPMMV算法求解支撐集。相同條件下對比原始信號、去噪前的恢復(fù)信號、去噪后的恢復(fù)信號。

    (3)相同條件下對比去噪前與去噪后的恢復(fù)成功率。

    采用文獻(xiàn)[3]中的信號模型和采樣參數(shù)，實驗中的多帶信號由式(4)產(chǎn)生：

其中，參數(shù)E_i、B_i、f_i、τ_i分別代表第i個頻帶的能量系數(shù)、帶寬、載波頻率和延遲時間；n(t)為高斯白噪聲；N為頻帶數(shù)。以下實驗以6個(對稱的3對)頻帶的信號為例，具體信號參數(shù)設(shè)置為：E={1，2，3}；B={50，50，50}MHz；τ={6.989，3.994，2.995}μs；載波頻率隨機(jī)分布在[-f_nyq/2，f_nyq/2]，f_nyq=10 GHz；偽隨機(jī)序列長度L=195；f_s=f_p=f_nyq/L=51.28 MHz。

    設(shè)置SNR=0 dB，通道數(shù)m=50，每通道樣本長度為512。隨機(jī)取一個通道的樣本進(jìn)行小波區(qū)域閾值去噪，其中小波基為db1，分解層數(shù)為5，對前4層采取區(qū)域閾值去噪，第5層小波系數(shù)不變，前4層的判斷區(qū)域分別設(shè)置為[k-3，k+3]、[k-4，k+4]、[k-5，k+5]、[k-10，k+10]，閾值調(diào)節(jié)因子α=0.5。圖3為無噪聲樣本、有噪聲樣本以及對有噪聲樣本去噪后的樣本信號對比圖，可以看出本文的方法可以有效去除部分噪聲。

    在以上實驗的基礎(chǔ)上設(shè)置SNR=10 dB，圖4為一個加入高斯白噪聲的信號及其頻譜圖。圖5和圖6分別顯示出圖4信號MWC采樣后用去噪前的樣本和去噪后的樣本恢復(fù)的信號及其頻譜圖。從圖5和圖6可以看出，此時，去噪后樣本的恢復(fù)效果在時域和頻域顯示都很好。

    計算恢復(fù)成功率時，進(jìn)行500次蒙特卡羅實驗，將支撐集恢復(fù)成功的百分率作為恢復(fù)率。這里的恢復(fù)成功計算方法見文獻(xiàn)[3]。圖7給出了在以上實驗的基礎(chǔ)上，當(dāng)SNR∈[-10,20]dB時去噪前后的重構(gòu)成功率對比圖。可見去噪后的方法在SNR較小時相對于去噪前恢復(fù)效果更好，重構(gòu)率最高可以比去噪前高21.8%(SNR=-6 dB時，去噪前后恢復(fù)率分別為43%、64.8%)。

4 結(jié)論

    本文利用小波閾值去噪思想，提出了基于小波區(qū)域閾值去噪的MWC優(yōu)化還原算法，在去除樣本噪聲的同時盡可能保留了信號的邊緣信息。仿真實驗表明，本文的算法恢復(fù)性能優(yōu)于去噪前，且在SNR較低時，效果更明顯，重構(gòu)率最高可以比去噪前高21.8%。本文的算法因為是直接對樣本進(jìn)行操作，所以可移植性強(qiáng)，可以與其他的減少通道數(shù)、減少運(yùn)行時間等算法并用，進(jìn)一步提高整個系統(tǒng)的性能。

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作者信息:

文婉瀅，李  智

（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都610065）