0 引言

    氣候變化對人類的生產(chǎn)生活、政治經(jīng)濟(jì)、科技等方面影響巨大。地球系統(tǒng)模式（Earth System Models，ESMs）是基于動力、物理、化學(xué)、生物過程及其相互間的能量物質(zhì)交換構(gòu)建的一系列數(shù)學(xué)物理模型，是預(yù)測未來氣候變化的重要工具^[1]。模式中含有大量取值不確定的參數(shù)，會極大影響地球系統(tǒng)模式的模擬性能^[2]。然而隨著模式發(fā)展，不確定參數(shù)越來越多^[3]，這導(dǎo)致參數(shù)不確定性分析難以實(shí)施。其原因一方面是參數(shù)空間隨著參數(shù)數(shù)量增加呈指數(shù)增長，計(jì)算成本不可接受；另一方面是由于地球系統(tǒng)模式強(qiáng)非線性，參數(shù)間存在復(fù)雜的交互關(guān)系。因此，通過篩選重要參數(shù)來減少待研究參數(shù)個數(shù)是參數(shù)不確定性分析的重要步驟，是提高地球系統(tǒng)模式模擬性能的關(guān)鍵。

    參數(shù)敏感性分析方法（Sensitivity Analysis，SA）是一類傳統(tǒng)的參數(shù)篩選方法^[4]。其中基于方差分解的Sobol′方法應(yīng)用普遍，許多研究表示它是一個里程碑，能提供最準(zhǔn)確和魯棒的結(jié)論^[5-6]。然而傳統(tǒng)SA并沒有考慮隨著不敏感參數(shù)的剔除，參數(shù)敏感性信息不斷改變^[7]，這有可能導(dǎo)致參數(shù)篩選結(jié)論不可靠。

    本文首先驗(yàn)證了這種篩選偏差的存在，其次提出了動態(tài)敏感性分析方法(Dynamic Sensitivity Analysis Method，DSAM)。它利用全連接的超圖結(jié)構(gòu)存儲參數(shù)的敏感性信息，將參數(shù)篩選問題轉(zhuǎn)換為最密子圖的識別問題。最后將DSAM應(yīng)用于兩個模型：一般非線性數(shù)學(xué)函數(shù)、單柱大氣模式。通過對比，驗(yàn)證了DSAM比傳統(tǒng)Sobol′方法能更有效地識別重要參數(shù)。

1 傳統(tǒng)敏感性方法的參數(shù)篩選問題

    本文利用Ishigami函數(shù)進(jìn)行兩次敏感性分析，結(jié)果如圖1所示。第一次擾動全參數(shù)集，它的結(jié)果是傳統(tǒng)Sobol′的篩選結(jié)果。第二次固定不敏感參數(shù)x₃不變，只對剩余參數(shù)子集進(jìn)行擾動，使有關(guān)x₃的交互敏感性消失，最敏感的參數(shù)會變?yōu)閤₂。這說明參數(shù)篩選過程中非敏感參數(shù)的剔除會通過交互作用動態(tài)影響到其他參數(shù)的敏感性。

2 動態(tài)敏感性分析方法

2.1 敏感性超圖構(gòu)建

    敏感性超圖是一個全連接、權(quán)重全為正實(shí)數(shù)且含超邊的圖。超邊代表連接兩個以上節(jié)點(diǎn)的邊。節(jié)點(diǎn)代表參數(shù)，點(diǎn)權(quán)代表主敏感性，邊權(quán)代表交互敏感性，超邊權(quán)代表二階以上的高階交互敏感性。實(shí)際高于二階的交互敏感性太小可以忽略^[9]，因此本文只計(jì)算二階交互敏感性。

    基于方差分解(如式(2)所示)可計(jì)算傳統(tǒng)Sobol′方法的三類敏感性和參數(shù)組合的組合敏感性(如式(6)所示)。顯然全參數(shù)的組合效應(yīng)接近1。

2.2 最密k階子圖搜索

    給定子圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)量k，最密k階子圖就是其中權(quán)重最大的子圖。本文基于深度優(yōu)先搜索算法(Depth-First-Search，DFS)遞增式搜索最密子圖，即k從1遞增到n-1過程中，對每個k值進(jìn)行一次k階最密子圖的搜索。遞增式搜索的停止條件是當(dāng)前k階最密子圖的權(quán)重接近原始圖的總權(quán)重，如80%。由于敏感性超圖的總權(quán)重為1，因此停止標(biāo)準(zhǔn)可設(shè)置為0.8。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>

3.1.1 數(shù)學(xué)函數(shù)

    Moon10hd是一個含有20個參數(shù)的高維非線性函數(shù)^[10]，如式(7)所示。它含有線性項(xiàng)、二次指數(shù)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)，其中θ(x_i)中含有大量的小系數(shù)項(xiàng)。本文利用Moon10hd的100 000個樣本進(jìn)行分析。

3.1.2 單柱大氣模式

    單柱大氣模型（Single-column Community Atmosphere Model，SCAM）用于模擬一個網(wǎng)格點(diǎn)的大氣物理過程^[11]。本實(shí)驗(yàn)限制網(wǎng)格點(diǎn)在澳大利亞北部，模擬時間是從2006年1月18日至2月13日。觀測資料來源于該地區(qū)6個無線電探空站每3小時收集到的觀測數(shù)據(jù)。參數(shù)和輸出變量見表1、表2。模式結(jié)果如式(8)所示，代表N個輸出變量與觀測的平均偏差。本文利用了SCAM模擬的10 000次樣本。

3.2 參數(shù)篩選結(jié)果評估方法

    本文利用傳統(tǒng)Sobol′與DSAM的篩選結(jié)果進(jìn)行對比。變量wDiff(Weighted Difference)用于量化評估參數(shù)篩選結(jié)果的差異。當(dāng)差異小于0.01 時可視為敏感性指標(biāo)不變，所以當(dāng)wDiff低于1% 時，可認(rèn)為兩個篩選結(jié)果近似相同。

    參數(shù)篩選要為后續(xù)參數(shù)不確定性分析（如參數(shù)取值優(yōu)化）提供待研究參數(shù)。當(dāng)固定待優(yōu)化參數(shù)的數(shù)量時，對更敏感參數(shù)調(diào)優(yōu)更有可能達(dá)到更佳的優(yōu)化效果。協(xié)方差矩陣適應(yīng)演化策略(CMA-ES)是一類經(jīng)典的優(yōu)化方法。本文分別將Sobol′和DSAM的篩選結(jié)果應(yīng)用于CMA-ES調(diào)優(yōu)，若優(yōu)化后模式結(jié)果越低，篩選結(jié)果越有效。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    圖2(a)和圖3(a)顯示了傳統(tǒng)Sobol′方法對Moon10hd函數(shù)、SCAM模式的參數(shù)敏感性結(jié)論，總敏感性最高的參數(shù)被篩選出來。圖2(b)和圖3(b)展示了DSAM的動態(tài)篩選結(jié)果。每列代表一個參數(shù)，從左到右按Sobol′的結(jié)果遞減地排序，實(shí)心表示參數(shù)被篩選出來，篩選出的敏感參數(shù)個數(shù)隨行號遞增。最后一列是傳統(tǒng)Sobol′方法和DSAM篩選結(jié)果的量化差異(即式(9))。

    即使兩個篩選結(jié)果的組成成員大部分相似，加權(quán)差異也可能很大。對于Moon10hd的最敏感的兩個參數(shù)(如圖2(b)所示)，Sobol′和DSAM的篩選結(jié)果的量化差異高達(dá)29%，而對于前3位敏感參數(shù)，篩選差異也超過10%。

    Sobol′和DSAM的篩選結(jié)論的不一致有助于發(fā)現(xiàn)潛在的關(guān)鍵過程。文獻(xiàn)[12]認(rèn)為x₁₂是Moon10hd函數(shù)中的關(guān)鍵參數(shù)，而它甚至沒有出現(xiàn)在前3的敏感參數(shù)中。對于SCAM模型，Sobol′剔除掉的不敏感參數(shù)x₁₃和x₁₅被DSAM識別為敏感。從物理意義上分析，x₁₃(聚合冰收集率)影響冰的反射率，進(jìn)而影響關(guān)鍵的輻射過程。x₁₅(濕夾卷加強(qiáng)參數(shù))影響底部湍流，而x₁₉(上升穿透夾卷率)代表更高層的濕氣夾卷，較低位置的湍流過程更為重要。

    圖4、圖5分別顯示了對DSAM和Sobol′的篩選結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化后的模型結(jié)果，其中每個都分別選擇了大量參數(shù)集合和少量參數(shù)集合。首先，當(dāng)優(yōu)化更多參數(shù)時，模式結(jié)果的優(yōu)化程度更好，而調(diào)優(yōu)過程越不容易收斂。其次，相比Sobol′，DSAM的篩選結(jié)果能使結(jié)果收斂到更優(yōu)解，即相對于觀測的偏差更小。由圖4可知，DSAM識別到的Top2敏感參數(shù)的調(diào)優(yōu)效果比Sobol′的結(jié)果提升了38.5%，而所需迭代次數(shù)減少了26.6%。同樣，對于Top5重要參數(shù)，優(yōu)化效果提升了12.5%，迭代次數(shù)減少了36.1%。

    盡管只有少量參數(shù)不同，但參數(shù)調(diào)優(yōu)中優(yōu)化效果差別卻可能很大。在圖5(b)中，14個參數(shù)中只有2個發(fā)生了替換，即x₄和x₁₉替換為x₁₃和x₁₅，但調(diào)優(yōu)效果提升了65.2%。

    因此，無論從量化比較還是基于參數(shù)調(diào)優(yōu)應(yīng)用的評估，都證明了DSAM比傳統(tǒng)Sobol′更為有效。

5 結(jié)論

    本文基于一個經(jīng)典數(shù)值函數(shù)說明了參數(shù)交互作用對參數(shù)篩選過程的影響，提出了一個基于動態(tài)敏感性的篩選算法(DSAM)，并在兩個測試案例中，分析對比了DSAM和傳統(tǒng)篩選方法的效果。通過實(shí)驗(yàn)和分析，可得到如下結(jié)論：

    (1)參數(shù)交互作用在模式參數(shù)篩選過程中動態(tài)變化，對篩選結(jié)果有很重要的影響作用。參數(shù)篩選實(shí)際是一個組合優(yōu)化問題。 

    (2)DSAM算法利用圖結(jié)構(gòu)來存儲參數(shù)敏感性信息，將參數(shù)篩選問題轉(zhuǎn)換為遞增式搜索最密子圖問題。由于保證了動態(tài)性，從理論上DSAM更適合參數(shù)篩選應(yīng)用。

    (3)實(shí)驗(yàn)表示相比傳統(tǒng)方法，DSAM的篩選結(jié)果量化差異可高達(dá)29%。這表明基于組合最優(yōu)和單一敏感性指標(biāo)的結(jié)論差異很大。

    (4)針對參數(shù)調(diào)優(yōu)應(yīng)用，即使篩選結(jié)果的組成差異很小，帶來的調(diào)優(yōu)效果差異可高達(dá)67%。

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資助項(xiàng)目：國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2016YFA0602103）

作者信息:

黃  欣1，李倩玉2，駱亦其3，薛  巍1，2

（1.清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，北京100084；2.清華大學(xué) 地球系統(tǒng)科學(xué)系，北京100084；

3.北亞利桑那大學(xué) 生態(tài)系統(tǒng)科學(xué)與社會中心，美國 弗拉格斯塔夫 86011）