0 引言

    里得-所羅門碼(Reed-Solomon，RS)是由REED I S和SOLOMON G在1960年提出的一種特殊的非二進(jìn)制BCH碼^[1]，是所有(n，k)線性分組碼中糾錯能力最強(qiáng)的碼型，可同時糾正隨機(jī)錯誤和突發(fā)錯誤。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，RS碼憑借其優(yōu)異的性能廣泛應(yīng)用于深空通信、移動通信、軍用通信、光纖通信、磁盤陣列及光存儲等領(lǐng)域，另外RS編碼也可應(yīng)用于保密通信中^[2-8]。

1 RS編碼原理

    對于碼長為n=2^m-1(n>2)的RS(n，k)碼，其碼元符號均取GF(2^m)，其信息段具有k個符號，監(jiān)督段具有n-k個符號，可糾正t個突發(fā)錯誤，其生成多項式為：

    RS(n，k)編碼的碼多項式為：

其中，r(x)為RS(n，k)編碼的校驗(yàn)多項式。

    在實(shí)際應(yīng)用中采用的RS碼均為系統(tǒng)碼，c(x)可被g(x)整除，mod為求余運(yùn)算，則：

2 RS編碼電路

    根據(jù)RS編碼原理可知，RS碼的編碼電路主要根據(jù)生成多項式g(x)進(jìn)行設(shè)計，實(shí)際應(yīng)用中的常用RS編碼電路^[10-14]如圖1所示。

    圖1中， g_2t-1，g_2t-2，…，g₁，g₀為生成多項式g(x)的系數(shù)：

    電路工作前將所有寄存器清零，開關(guān)SW₁接至mr處，開關(guān)SW₂接至m處，信息碼m_k-1，…，m₁，m₀依次進(jìn)入編碼電路，并同時由輸出端進(jìn)行輸出。當(dāng)m(x)送入電路后，開關(guān)SW₁接至0處，開關(guān)SW₂接至r處，依次輸出寄存器R_2t-1，…，R₁，R₀的值，即校驗(yàn)子r_n-k-1，…，r₁，r₀的值，從而完成RS(n，k)編碼。

3 基于FPGA的RS編碼優(yōu)化

其中，矩陣C為乘法器因子矩陣。觀察RS編碼電路可知，每個乘法器的系數(shù)g_k為固定值，即RS編碼電路每個乘法器的乘法器因子為固定值。因此，可以在編碼前根據(jù)生成多項式g(x)的系數(shù)g_2t-1，g_2t-2，…，g₁，g₀的值生成乘法器因子矩陣C^2t-1，C^2t-2，…，C¹，C⁰用于后續(xù)的RS編碼。例如，RS(255，239)的生成多項式系數(shù)g₁₅=118，對應(yīng)的乘法器因子矩陣C¹⁵為：

    由此證明通過乘法器因子矩陣可以把RS編碼中信息碼與生成多項式系數(shù)g_k在伽羅華域上的乘法轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)為信息碼數(shù)據(jù)位之間的加法運(yùn)算。根據(jù)伽羅華域的加法運(yùn)算法則，信息碼數(shù)據(jù)位之間的伽羅華域加法運(yùn)算在FPGA實(shí)現(xiàn)時可由異或操作(^)完成，從而使得FPGA實(shí)現(xiàn)伽羅華域的乘法運(yùn)算簡化，數(shù)據(jù)運(yùn)算量減少。

4 RS編碼優(yōu)化后的FPGA實(shí)現(xiàn)

4.1 乘法器因子求取模塊的FPGA實(shí)現(xiàn)

    在FPGA中實(shí)現(xiàn)GF(2⁸)域中RS(255，239)乘法器因子求取的結(jié)果如圖3所示。

4.2 RS編碼的FPGA實(shí)現(xiàn)

    為了驗(yàn)證乘法器因子模塊的有效性，采用所得的乘法器因子進(jìn)行RS編碼，將編碼結(jié)果與MATLAB計算的理論結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證^[15]。

    RS編碼的RTL原理圖如圖4所示，包括信息碼數(shù)據(jù)緩存模塊m_fifo、控制模塊control、校驗(yàn)碼生成模塊R_top、編碼數(shù)據(jù)輸出模塊c_fifo。其中，校驗(yàn)碼生成模塊R_top中包含乘法器因子求取模塊，由其完成乘法器因子的求取。

    采用乘法器因子模塊所得的乘法器因子實(shí)現(xiàn)的RS(255，239)編碼的測試結(jié)果如圖5所示。當(dāng)輸入信息碼data_in為(1，2，3，…，238，239)時，校驗(yàn)碼生成模塊R_top生成的16個校驗(yàn)子為(37，133，225，126，37，59，132，133，56，168，179，4，9，99，79，148)。圖6為MATLAB對(1，2，…，239)進(jìn)行RS(255，239)編碼輸出的計算結(jié)果，將圖6的輸出結(jié)果與圖5的輸出碼字c進(jìn)行對比，可以驗(yàn)證采用乘法器因子求取模塊實(shí)現(xiàn)的RS編碼無誤。

4.3 乘法器因子求取模塊的適應(yīng)性驗(yàn)證

    為了驗(yàn)證乘法器因子求取模塊的適應(yīng)性，采用乘法器因子求取模塊完成RS(255，223)的乘法器因子求取，輸入data_in為(0，1，2，…，222)，RS(255，223)編碼測試結(jié)果如圖7所示，編碼輸出的32個校驗(yàn)子為(102，212，116，164，159，61，229，39，17，244，245，67，253，18，156，217，115，73，31，174，27，140，69，159，104，219，254，187，173，169，10，116)。將編碼輸出與圖8所示RS(255，223)編碼計算結(jié)果進(jìn)行比對，可驗(yàn)證編碼無誤，證明采用乘法器因子求取模塊優(yōu)化的基于FPGA的RS編碼可適應(yīng)不同的生成多項式，完成有效RS編碼。

5 結(jié)論

    RS編碼是一類很好線性糾錯碼，在工程實(shí)踐中有著廣泛應(yīng)用。本文通過設(shè)計乘法器因子求取模塊，將RS編碼中信息碼與乘法器系數(shù)在伽羅華域上乘法轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)為信息碼數(shù)據(jù)位之間的加法運(yùn)算，降低FPGA實(shí)現(xiàn)時的運(yùn)算復(fù)雜度、減少運(yùn)算量，且可根據(jù)不同的乘法器系數(shù)生成相應(yīng)的乘法器因子，完成不同碼長和校驗(yàn)子的RS編碼，可廣泛應(yīng)用于短碼及中長碼通信領(lǐng)域，具有很好的實(shí)際應(yīng)用價值。

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作者信息：

李錦明，劉夢欣，成乃朋

(中北大學(xué) 儀器與電子學(xué)院，山西 太原030051)