0 引言

    在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，往往需要對(duì)模擬量信號(hào)進(jìn)行采集，但計(jì)算機(jī)只能識(shí)別數(shù)字量信號(hào)，因此需要將實(shí)際的物理量轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)所能識(shí)別的數(shù)字量。AD轉(zhuǎn)換芯片作為模擬量采集的核心部件，AD轉(zhuǎn)換的精度直接影響到控制系統(tǒng)的精度。AD轉(zhuǎn)換受傳感器自身特性的非線性、參考電壓波動(dòng)、溫漂、零漂等問(wèn)題的影響，導(dǎo)致實(shí)際物理量與轉(zhuǎn)換后的數(shù)字量之間存在非線性關(guān)系，使轉(zhuǎn)換精度無(wú)法滿足控制系統(tǒng)的要求^[1]，因此需要對(duì)AD轉(zhuǎn)換結(jié)果進(jìn)行校正。

    對(duì)于AD轉(zhuǎn)換中存在的非線性問(wèn)題，通?？蓮挠布蛙浖煞矫孢M(jìn)行處理。硬件處理在盡可能減少非線性的基礎(chǔ)上^[2]，通常配合軟件處理一起。軟件處理的方法較多，其擬合精度高，快速性好，通常有線性近似法、分段直線回歸法、傳統(tǒng)的回歸法（如最小二乘法）等，目的都是采用軟件的方法盡可能降低由于非線性帶來(lái)的誤差。

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優(yōu)化分段線性擬合方法，對(duì)AD轉(zhuǎn)換結(jié)果進(jìn)行軟件在線校正，最后將校正后的分段點(diǎn)、斜率和截距等數(shù)據(jù)下發(fā)到被校正裝置(如以STM32為MCU的模擬量采集系統(tǒng))中。經(jīng)實(shí)際測(cè)試驗(yàn)證，其擬合速度快、準(zhǔn)確性高且操作方便。

1 最小二乘法

    軟件實(shí)現(xiàn)線性化是基于最小二乘法原理的^[3-4]。以滿足用戶要求的誤差標(biāo)準(zhǔn)為前提，將整個(gè)量程范圍劃分為不同的區(qū)間，在每個(gè)分段區(qū)間內(nèi)對(duì)實(shí)際物理量和轉(zhuǎn)換后數(shù)字量采用最小二乘法進(jìn)行直線擬合，確定各直線的待定系數(shù)a_i(斜率)和b_i(截距)。確定a_i和b_i后，得到y(tǒng)_i=a_ix+b_i這樣一條直線，使得用這條直線去近似這段曲線時(shí)，整個(gè)區(qū)間內(nèi)的誤差都較小，最后可得到整個(gè)量程范圍內(nèi)確定的函數(shù)關(guān)系。

    得到a_i、b_i值，則可確定各區(qū)間內(nèi)直線的函數(shù)關(guān)系。

2 軟件線性化基本思路

    經(jīng)理論分析和實(shí)驗(yàn)表明，實(shí)際物理量和AD轉(zhuǎn)換后數(shù)字量間的非線性關(guān)系主要分布在低端和高端，中間基本上是線性關(guān)系。因此，簡(jiǎn)單地對(duì)整個(gè)量程區(qū)間的非線性關(guān)系進(jìn)行線性擬合時(shí)，兩端與實(shí)際曲線的擬合度很低^[5]，得到的擬合函數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確地表達(dá)整個(gè)量程范圍內(nèi)實(shí)際物理量和數(shù)字量間的關(guān)系。

    如果不進(jìn)行分段線性校正，擬合函數(shù)f(x)的階數(shù)必須高于7^[6]，才能滿足控制系統(tǒng)精度的要求。而由于高階擬合函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，需要用到迭代法，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，占用內(nèi)存多，難以在實(shí)際中應(yīng)用。因此就需要分段，將整個(gè)量程范圍根據(jù)誤差標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)過(guò)計(jì)算進(jìn)行劃分區(qū)間，分別對(duì)每個(gè)劃分區(qū)間進(jìn)行擬合，各區(qū)間有不同的擬合函數(shù)，此時(shí)可認(rèn)為每個(gè)劃分區(qū)間中的實(shí)際物理量和數(shù)字量間存在線性關(guān)系，而在整個(gè)量程范圍內(nèi)實(shí)際物理量和數(shù)字量之間是非線性關(guān)系。

    理論證明，只要分段的間距足夠小，分段的數(shù)量足夠多，對(duì)于任意的連續(xù)函數(shù)，在誤差允許的范圍內(nèi)，都可以用分段線性化來(lái)處理。但是在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)誤差標(biāo)準(zhǔn)來(lái)劃分區(qū)間，劃分的區(qū)間數(shù)量不宜太多。當(dāng)允許誤差較大時(shí)，分段數(shù)較少；當(dāng)允許誤差較小時(shí)，分段數(shù)較多。此動(dòng)態(tài)分段方法既可簡(jiǎn)化得到擬合函數(shù)的過(guò)程，又能提高轉(zhuǎn)換精度，滿足控制要求?；谧钚《朔ǖ淖顑?yōu)化分段線性擬合方法的基本思路為：

    (1)假設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)(x_i，y_i)(i=0，1，2，…，n-1)(數(shù)字量x_i從小到大排列)，用戶根據(jù)實(shí)際測(cè)試需求，輸入允許誤差ε及量程范圍[M，N](M、N均為數(shù)字量)。

    (2)計(jì)算機(jī)取出數(shù)據(jù)(x_i，y_i)的前3個(gè)點(diǎn)，擬合區(qū)間為[M，x₂]。用最小二乘法求出各點(diǎn)在擬合區(qū)間[M，x₂]內(nèi)的擬合系數(shù)a₀和b₀并依次計(jì)算各點(diǎn)的誤差值ε_i，其中ε_i=

|y_i-(a₀x_i+b₀)|。

    (3)將各點(diǎn)誤差值ε_i與允許誤差ε進(jìn)行比較。若這3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)均滿足允許誤差，計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)x₃的誤差值ε₃。將ε3值與允許誤差ε進(jìn)行比較，若仍小于允許誤差，則擬合區(qū)間再增加一個(gè)數(shù)據(jù)x₃，擬合區(qū)間為[M，x₃]。依次類推，直到在區(qū)間[M，x_k]中出現(xiàn)某點(diǎn)x_k，其誤差值ε_k大于允許誤差ε，計(jì)算機(jī)會(huì)自動(dòng)將區(qū)間[M，x_k]減少一個(gè)數(shù)據(jù)x_k。此時(shí)可得到分段區(qū)間[M，x_k-1]內(nèi)滿足精度要求的擬合函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)₀=a₀x+b₀，且這條直線延伸到量程范圍的起始點(diǎn)M。

    若這3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中有任何一個(gè)點(diǎn)不滿足允許誤差，則將3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中的前兩個(gè)點(diǎn)根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”定律，連接成一條直線且這條直線延伸到量程范圍的起始點(diǎn)M，分段區(qū)間為[M，x₁]。且設(shè)定這3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中不滿足誤差要求的點(diǎn)為第3個(gè)，為方便敘述，假設(shè)這個(gè)點(diǎn)為x_k。

    (4)下一段從x_k-1點(diǎn)開(kāi)始，計(jì)算機(jī)取3個(gè)數(shù)字量x_k-1、x_k、x_k+1，此時(shí)擬合區(qū)間為[x_k-1，x_k+1]，用最小二乘法求出各點(diǎn)在擬合區(qū)間[x_k-1，x_k+1]內(nèi)的擬合系數(shù)a_j和b_j(j=1，2，…，n-2)，并依次計(jì)算各點(diǎn)的誤差值ε_k。沿用步驟(3)中的方法，找出新區(qū)域內(nèi)的擬合表達(dá)式。直至計(jì)算判斷達(dá)到量程范圍上限N點(diǎn)，擬合過(guò)程結(jié)束。至此得到了符合允許誤差的各段擬合函數(shù)，覆蓋了整個(gè)量程范圍。

    根據(jù)上述方法，在實(shí)際校正中會(huì)出現(xiàn)很多種可能，圖1和圖2為兩種典型情況下的處理方式。情況1為有3個(gè)點(diǎn)滿足誤差標(biāo)準(zhǔn)的處理方式，情況2為有3個(gè)點(diǎn)不滿足誤差標(biāo)準(zhǔn)的處理方式。

3 軟件線性化的實(shí)現(xiàn)

    AD轉(zhuǎn)換在線校正軟件使用VS2010 C#開(kāi)發(fā)，并將校正后的允許誤差、量程范圍、分段數(shù)、分段區(qū)間、斜率a和截距b等參數(shù)保存到Access數(shù)據(jù)庫(kù)中，用戶可根據(jù)允許誤差和量程范圍隨時(shí)查詢。

    軟件可校正的物理量有直流電壓、直流電流、交流電壓、交流電流和交流頻率，每次只能校正一個(gè)物理量。AD轉(zhuǎn)換在線校正軟件主要包括串口設(shè)置界面、非線性校正界面(主界面)和實(shí)時(shí)曲線界面。串口設(shè)置界面主要用來(lái)設(shè)置校正軟件與被校正裝置間的通信參數(shù)；非線性校正界面包括數(shù)據(jù)請(qǐng)求、數(shù)據(jù)顯示、擬合折線和歷史數(shù)據(jù)查詢四部分，實(shí)現(xiàn)數(shù)字量的接收、物理量的輸入、根據(jù)允許誤差和量程范圍進(jìn)行分段線性校正并將參數(shù)下發(fā)給被校正裝置，以及保存和查詢等功能；被校正裝置根據(jù)校正軟件下發(fā)的參數(shù)進(jìn)行物理量的回歸運(yùn)算^[7]，校正軟件通過(guò)發(fā)送指令讀取運(yùn)算得到的物理量值，并將物理量值通過(guò)實(shí)時(shí)曲線界面顯示。非線性校正界面如圖3所示。

4 軟件線性化測(cè)試結(jié)果

    在軟件線性化測(cè)試中，被校正裝置為以STM32為MCU的模擬量采集系統(tǒng)，其內(nèi)部AD轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為12 bit，物理量為直流電壓，其量程范圍為1～10 V。AD轉(zhuǎn)換后數(shù)字量與實(shí)際測(cè)量的物理量如表1所示。

    通過(guò)本文提出的校正方法對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)化分段線性校正，當(dāng)允許誤差分別為0.2和0.5時(shí)，其擬合分段直線如圖4和圖5所示。由圖4和圖5校正結(jié)果對(duì)比可知，計(jì)算機(jī)可以根據(jù)允許誤差的大小來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整分段區(qū)間，得到最優(yōu)化分段，使得分段數(shù)最優(yōu)；校正過(guò)程方便，用戶只需手動(dòng)輸入實(shí)際物理量、允許誤差和量程范圍；并且校正的準(zhǔn)確度高，要求的允許誤差越小，校正后的折線越逼近實(shí)際曲線。

    在上述測(cè)試條件下，允許誤差為0.2和0.5時(shí)，其擬合結(jié)果的分段數(shù)、分段區(qū)間、各段系數(shù)及最大誤差如表2所示。由兩組數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果可知，擬合結(jié)果的分段區(qū)間不是固定的，而是會(huì)根據(jù)允許誤差的不同實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)分配，從而實(shí)現(xiàn)了分段數(shù)的最優(yōu)化。同時(shí)，對(duì)于不同的允許誤差，當(dāng)允許誤差較小時(shí)，分段區(qū)間越多，擬合精度越高，因此在實(shí)際的運(yùn)用中，可根據(jù)需要設(shè)置允許誤差，獲得校正數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)提高物理量回歸運(yùn)算精度的目的。

5 結(jié)論

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優(yōu)化分段線性擬合方法，經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)試驗(yàn)證，擬合精度高，分段合理，算法簡(jiǎn)單且快速性好，達(dá)到了方便、準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)非線性校正的目的。在實(shí)際操作時(shí)，用戶需要將實(shí)際測(cè)量的物理量、量程范圍及允許誤差輸入到軟件中，計(jì)算機(jī)可根據(jù)軟件程序自動(dòng)計(jì)算出分段區(qū)間和擬合系數(shù)，用戶再將擬合參數(shù)下發(fā)給被校正裝置即可。此方法也可用于嵌入式系統(tǒng)的輔助開(kāi)發(fā)中，進(jìn)行模擬量的非線性校正，提高非線性校正的靈活性和準(zhǔn)確性。

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作者信息：

賈紅敏，張立廣，淡建超

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，陜西 西安710021)