0 引言

    更改條件/判定覆蓋(MC/DC)準則是一種軟件結構覆蓋性測試準則，非常適合大型的軟件測試領域，如國防、航空航天領域^[1-2]。MC/DC與語句覆蓋、條件覆蓋、判定覆蓋等比較，能大幅減少測試用例數(shù)，如測試系統(tǒng)中有10個判定條件時，條件組合覆蓋需要1 024個測試用例，而MC/DC只需要11~20個測試用例^[3-4]。在國內MC/DC最小測試用例集生成算法的相關研究中，比較典型的是最小真值表法^[5]和快速生成法^[6]，但這兩種算法只適合處理非耦合條件的布爾表達式。也有學者將MC/DC準則應用于帶弱耦合條件和強耦合條件的布爾表達式中^[7]。本文結合矩陣方式，從布爾表達式的語法二叉樹的葉子節(jié)點依次遞歸至根節(jié)點，直接生成完備的最小化測試用例集。

1 算法相關描述

    布爾表達式相關概念：條件表示不含有布爾操作符號的布爾表達式，記為P_i(1≤i≤n)。判定表示由條件Pi和若干布爾操作符號所組成的一個布爾表達式。

    MC/DC覆蓋準則^[8]：(1)程序中，每個入口點和出口點至少被調用1次；(2)程序中判定的每個條件的所有取值至少出現(xiàn)1次，且能獨立影響該判定的輸出；(3)每一個判定的所有可能的輸出結果至少產(chǎn)生1次。

    Chilenski原則^[9]：對于一個具有n個條件的判定，滿足MC/DC準則的測試用例至少有n＋1組。

    MC/DC對^[10]：一個MC/DC對是一對真值向量，該向量中一個條件值變化時可使得判定有不同的結果。

    矩陣組合邏輯運算規(guī)則：將矩陣的條件部分進行兩兩組合，同時將結果部分按邏輯運算符進行邏輯運算，如式(1)所示：

    語法二叉樹：將一個判定從左到右依次轉化為對應的語法二叉樹，其中條件P_i采用葉子節(jié)點表示，and、or等邏輯運算符采用非葉子節(jié)點表示。以(P₁ and P₂)and(P₃ or P₄)為例，其對應的語法二叉樹如圖1所示。

    語法二叉樹遞歸規(guī)則：從葉子節(jié)點開始往根節(jié)點逐層遞歸。左、右子樹為葉子節(jié)點時，按“語法二叉樹與矩陣對應關系”獲得對應矩陣。若某一子樹的左子樹或右子樹為非葉子節(jié)點時，利用該子樹的左、右矩陣，按“矩陣組合邏輯運算規(guī)則”進行運算：若為and運算，先將左矩陣中每一行與右矩陣中結果為1的行進行運算，然后將右矩陣中每一行與左矩陣中結果為1的行進行運算，最后合并運算結果；如為or運算時，選取相應矩陣中結果為0的行進行運算。運算結果即為該子樹對應的判定的最小測試用例集。遞歸到根節(jié)點時，即獲得整個判定的最小測試用例集。

    命題  按語法二叉樹遞歸規(guī)則可得到MC/DC最小測試用例集。

    證明  以n表示語法二叉樹的高度，當n=2時，左、右子樹為葉子節(jié)點，可直接獲得判定的矩陣，即最小測試用例集，結論成立。當n>2時，由于該子樹的左、右矩陣符合Chilenski原則，因此左、右矩陣的行集合其實就是MC/DC對集合。左、右矩陣按“矩陣組合邏輯運算規(guī)則”運算時，以and運算為例（or運算同理），左矩陣中MC/DC對分別與右矩陣中結果為1的行進行運算(此處只證明合理性，因此右矩陣中有多個結果為1的行時，只選取其中一行運算即可。實際操作時，結果為1的行均進行運算，這樣可獲得完備的最小測試用例集)，實際上只是在該MC/DC對中增加了右矩陣中的同一組條件，MC/DC對數(shù)量不變。同樣原理，將右矩陣中MC/DC對與左矩陣中結果為1的行進行運算后，該MC/DC對中增加了左矩陣中的同一組條件，MC/DC對數(shù)量不變。然后合并運算結果，此時針對左、右子樹中條件的MC/DC對構造完畢，即該子樹的最小測試用例集構造完畢。遞歸至根節(jié)點時，就可獲得針對全部條件的MC/DC對，即該語法二叉樹的MC/DC最小測試用例集，證畢。

2 算法設計與驗證

2.1 算法步驟

    按照上述規(guī)則及定義，MC/CD最小測試用例集的生成算法步驟如下：

    (1)將判定轉換為語法二叉樹；

    (2)從葉子節(jié)點開始，按“語法二叉樹遞歸規(guī)則”向根節(jié)點逐層遞歸，遞歸過程按“語法二叉樹與矩陣對應關系”采用矩陣表示子樹，并按“矩陣組合邏輯運算規(guī)則”進行運算獲得子樹對應的矩陣；

    (3)遞歸至語法二叉樹的根節(jié)點時，算法結束。

2.2 算法驗證

2.2.1 零耦合條件的判定的驗證

2.2.2 帶耦合條件的判定的驗證

    帶耦合條件的判定是指判定中存在部分重復條件。以(P₁ and P₂ and P₃) or (P₁ and (P₂ and P₄))為例，條件P₁、P₂重復出現(xiàn)(判定中重復出現(xiàn)的條件采用P₁′、P₂′表示)。按照算法步驟先轉化為語法二叉樹，如圖2所示。

    在處理帶耦合條件的判定時，在2.1算法步驟中增加兩個規(guī)則：(1)一致性規(guī)則。在遞歸過程中遇到重復條件時，為保證重復條件取值的一致性，在矩陣中選擇重復條件取值一致的MC/DC對進行運算。(2)構造規(guī)則。為了保證一致性，矩陣中MC/DC對數(shù)量受到了限制，不能滿足Chilenski原則，因此需要通過構造方式來滿足該原則。以左矩陣中與重復條件相關的MC/DC對為基礎，補充構造右矩陣中條件，構造時需遍歷相應子樹進行正確性驗證。構造完右矩陣中條件對應的MC/DC對后，在其基礎上反轉非重復條件，構造左矩陣中的MC/DC對。

3 實驗分析

    最小真值表法、快速生成算法等算法都是依據(jù)判定中的多種條件不斷進行判斷、歸約，從而依次生成每個用例。本算法從語法二叉樹的葉子端向根節(jié)點遞歸，每次遞歸得到的都是當前子樹的MC/DC最小測試用例集，其測試用例集始終限制在最小維度，而且遞歸過程只需進行簡單的矩陣組合邏輯運算，因此，在手動生成測試用例方面更快速、簡潔、直觀。最小真值表法、快速生成算法等算法只能獲得唯一一個最小測試用例集，無法得到其余的最小測試用例集。保證冗余的測試用例是有必要的^[12]。在2.2.1的驗證中，本算法同時生成了兩個最小測試用例集，可以證明該判定有且僅有這兩個最小測試用例集，這表明本算法生成了完備的最小測試用例集，其可在不影響測試組大小范圍的情況下有效提高錯誤檢測效率。同時，在進行矩陣組合邏輯運算時，任意選取左或右矩陣中結果為1(and運算符)或0(or運算符)的一行進行運算，即可獲得唯一的最小真值矩陣。

    在判定(零耦合條件)的唯一最小測試用例的自動生成所需時間方面，本算法首先生成語法二叉樹，然后由葉子節(jié)點向根節(jié)點進行遞歸，由于左、右子樹可以實現(xiàn)并發(fā)遞歸，因此對于左、右子樹較對稱的、葉子節(jié)點較多的語法二叉樹而言，其所需的時間優(yōu)于快速生成算法，具有快速生成測試用例的優(yōu)勢。算法生成時間比較結果見表1，其中非布爾表達式分別為：(1)(P₁ or P₂) and (P₃ and P₄)；(2)(P₁ and P₂ and P₃) or (P₄ and P₅)；(3)(P₁ and P₂ and P₃) or (P₄ and (P₅ and P₆))；(4)(P₁ and P₂ and (P₃ or P₄)) or (P₅ and (P₆ and P₇ or P₈))。但是，本算法需要存儲空間存儲矩陣，其對存儲空間的要求高于快速生成算法。

    最小真值表法、快速生成算法等算法只適合處理由標準運算符and、or構成的零耦合條件的判定，規(guī)避了對帶耦合條件的判定的分析。本算法適用于存在耦合條件的判定的分析，其在生成測試用例過程中雖需要遍歷語法二叉樹進行驗證，但生成的測試用例集滿足MC/DC要求，且遍歷時只需對部分子樹進行遍歷，因此數(shù)量遠小于全遍歷情況，對帶耦合條件的判定的分析具有一定借鑒意義。與謝祥南等^[7]的耦合條件的MC/DC測試用例集生成算法相比，本算法比較簡潔直觀，但對于復雜的強耦合條件的判定的分析，本算法還有不足，需要進一步深入研究。

4 結論

    不同測試工具對于代碼的覆蓋能力是有區(qū)別的，通常能夠支持MC/DC的測試工具的價格極其昂貴^[13]。本文提出的算法基于語法二叉樹，從葉子節(jié)點開始采用符合MC/DC覆蓋準則的矩陣進行遞歸，可快速、直觀、有效地處理零耦合條件的判定，并生成完備的的最小測試用例集，適合自動或手動生成。對于帶耦合條件的復雜判定，本算法也有一定適用性，其生成的測試用例集合遠遠低于全遍歷情況，這在減輕測試工程師工作量、提高工作效率方面有一定借鑒意義。下一步將對帶耦合條件的判定做進一步研究，提高其算法的生成效率。

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作者信息:

黃孝倫，王  東

(重慶市衛(wèi)生信息中心，重慶401120)