??? 摘 要：根據(jù)二元樹復(fù)小波理論和圖像插值的特點(diǎn)，將二元樹復(fù)小波變換與基于邊緣插值方法相結(jié)合，得到一個(gè)放大的插值圖像，然后將插值后的圖像進(jìn)行一級(jí)小波分解，將分解后的高頻子帶再做小波變換，并修正變換后的高頻子帶系數(shù)，進(jìn)行圖像重構(gòu)后得到最終的插值圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠提高圖像的分辨率，同時(shí)消除邊緣處的 “振鈴” 效應(yīng)。
??? 關(guān)鍵詞：二元樹復(fù)小波；邊緣插值；超分辨率；小波重構(gòu)
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??? 很多成像系統(tǒng)由于一些固有的內(nèi)在和外在條件限制，獲取的圖像往往不能達(dá)到人們實(shí)際的需求。從硬件方面改進(jìn)又需要高昂的費(fèi)用，所以解決這一問題的有效途徑是從軟件方面入手來(lái)提高圖像的分辨率。而插值技術(shù)作為一種簡(jiǎn)單的圖像處理方法具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。傳統(tǒng)的插值方法主要有：最近鄰域插值方法(zero-order-hold)、雙線性方法(bilinear)和雙3次插值方法(bicubic)。這些插值方法只利用了鄰近像素的灰度值進(jìn)行計(jì)算。其優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小。不足之處就是誤差較大，不能完全恢復(fù)圖像丟失的高頻信息，致使在處理圖像邊緣細(xì)節(jié)及紋理時(shí)不夠理想，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)方塊效應(yīng)或邊緣退化現(xiàn)象[1-2]。
??? 新出現(xiàn)的一些算法，如LiXin的基于邊緣的插值算法[3]，得到的放大圖像在邊緣處理的效果上比傳統(tǒng)的插值算法要好些。
??? 小波變換具有多分辨率分析特點(diǎn)和逐漸局部細(xì)化等性質(zhì), 因此，圖像經(jīng)小波變換分解后進(jìn)行處理比直接對(duì)圖像進(jìn)行處理要更加有效[4-5]，同時(shí),小波變換的多尺度分解特性更加符合人類的視覺機(jī)制。二維實(shí)離散小波變換雖然具有以上優(yōu)點(diǎn)，但其缺點(diǎn)是缺乏平移不變性導(dǎo)致了振鈴現(xiàn)象和可選方向較少。而本文采用的二元樹復(fù)小波技術(shù)[6]能較好地彌補(bǔ)以上不足。
??? 基于保證插值結(jié)果的精確性和算法簡(jiǎn)明性的考慮,本文算法將LiXin的基于邊緣的插值算法[1]與二元樹復(fù)小波變換相結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行了超分辨率處理。
1 二元樹復(fù)小波變換
??? 二元樹離散復(fù)小波變換不僅保持了傳統(tǒng)小波變換良好的時(shí)頻局部化的分析能力,還具有良好的方向分析性, 能夠反映出圖像在不同分辨率上沿多個(gè)方向的變化情況,更好地描述圖像的方向?qū)傩?。圖1為一維信號(hào)的二元樹復(fù)小波變換示意圖，它實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于采用2棵并行的實(shí)DWT小波樹，將一棵樹(a樹)的輸出作為復(fù)小波輸出的實(shí)部，另一棵樹(b樹)作為虛部。在第一層的變換上，b樹中的濾波器與a樹中的對(duì)應(yīng)濾波器間有一個(gè)樣本的位移，在第一層后，各層上都取偶數(shù)長(zhǎng)的濾波器，保證b樹在下采樣時(shí)始終能取到a樹在下采樣時(shí)舍棄掉的采樣值，使總輸出是輸入的二倍冗余，以實(shí)現(xiàn)近似位移不變。一個(gè)二維二元樹復(fù)小波變換可以區(qū)分頻域空間的各個(gè)不同部分，將產(chǎn)生6個(gè)方向(±15°、±45°、±75°)的復(fù)系數(shù)帶通子圖。為了獲取指向這些方向的沖激響應(yīng)，應(yīng)將a樹和b樹的尺度函數(shù)的輸出系數(shù)(即低通濾波器的輸出)看作是一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)，而把2棵樹的小波函數(shù)的輸出(即高通濾波器的輸出)看作來(lái)自于另一復(fù)數(shù)對(duì)。
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2? 基于二元樹復(fù)小波變換的邊緣插值方法
2.1基于邊緣插值方法
??? 假設(shè)低分辨率圖像為Xi,j，大小為H×W。對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像為Yi,j，大小為aM×aN，其中a是整形放大因子。不失一般性，只考慮a=2時(shí)，有Y2i,2j=Xi,j。從Y2i,2j=Xi,j插值出Y2i+1,2j+1。
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??? 這里插值是在對(duì)角方向上的4個(gè)最近鄰域進(jìn)行。對(duì)自然圖像的一個(gè)合理假設(shè)是它能夠被模型化為一個(gè)局部平穩(wěn)高斯過程。根據(jù)經(jīng)典維納濾波理論，最優(yōu)最小均方誤差線性插值系數(shù)為：
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式(2)中，R、Y是在高分辨率下的局部協(xié)方差。
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式中，M是局部窗的大小，
是局部窗內(nèi)的點(diǎn)，C是沿著對(duì)角方向的4個(gè)最近鄰域。根據(jù)(2)式和(3)式，則有：
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將(4)式代入(1)式可得到Y(jié)2i+1,2j+1。
2.2基于二元樹復(fù)小波變換的邊緣插值方法
??? 方法描述如下：圖像f (x,y)經(jīng)過一次二元樹復(fù)小波分解后，實(shí)部和虛部都被分解為6個(gè)高頻子帶和2個(gè)低頻子帶。求出實(shí)部6個(gè)高頻子帶的系數(shù)并用邊緣插值方法對(duì)其插值放大。同樣對(duì)虛部6個(gè)高頻子帶進(jìn)行處理，得到插值后的各虛部的高頻子帶系數(shù)。由于低頻信息集中了圖像的絕大部分能量，而雙3次插值方法能夠提高圖像的整體清晰度。因此，對(duì)于低頻系數(shù)，本文采用了雙3次插值。各系數(shù)插值完成后對(duì)插值后的系數(shù)進(jìn)行二元樹復(fù)小波逆變換。
3? 邊緣處理
??? 經(jīng)過以上過程處理后的圖像雖然得到了較好的插值效果，但圖像邊緣處還是比較模糊。由于高頻信息對(duì)應(yīng)圖像的邊緣信息，所以通過改變圖像的高頻信息，重構(gòu)后將改變?cè)瓐D像的邊緣特征，因此改變不同層次的高頻子帶信息，可以提高圖像邊緣處的對(duì)比度。依據(jù)這個(gè)原則，這里用一種基于小波變換的方法將插值后的圖像進(jìn)行進(jìn)一步處理，以得到更好的邊緣效果。方法描述如下：
??? 如圖2所示，對(duì)用以上方法得到的插值圖像做小波分解，分解為：LL、HL、LH和HH 4個(gè)子帶圖像。其中LL子帶集中了圖像的大部分能量，3個(gè)高頻子帶HL、LH、HH對(duì)應(yīng)了圖像不同方向的邊緣信息。將小波變換后的圖像的高頻子帶繼續(xù)做Haar小波變換。每個(gè)高頻子帶做1次Haar變換后可以得到4個(gè)子帶，通過修改高頻信息，可以在重構(gòu)圖像時(shí)得到需要的圖像效果。
3.1修改高頻系數(shù)
??? 令w00、w01、w10、w11表示每個(gè)高頻子帶經(jīng)過Haar變換后得到的4個(gè)子帶系數(shù)，e0、e1、e2、e3分別為子帶w00、w01、w10、w11系數(shù)模最大值。為了突出邊緣，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)本文按以下公式修改高頻小波系數(shù)為：
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3.2重構(gòu)圖像
??? 圖3為對(duì)修改了的小波系數(shù)進(jìn)行高頻Haar逆變換和小波逆變換，即得到本文最后的的重構(gòu)圖像。
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4實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
??? 根據(jù)本文的方法對(duì)Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像進(jìn)行了處理。圖4、圖5分別為用參考文獻(xiàn)[1]的新邊緣插值方法、傳統(tǒng)小波變換方法和本文方法對(duì)Lena(256×256)和Lena(128×128)放大4倍后的結(jié)果比較。經(jīng)過比較可以看出，經(jīng)本文處理的圖像較好地保持了圖像的紋理特征，增強(qiáng)了圖像的邊緣，克服了圖像插值后的紋理模糊現(xiàn)象。
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??? 由圖6的 Lena(256×256) 和圖7的Lena(128×128)局部放大圖像眼部細(xì)節(jié)比較能夠清楚地看到，本文方法優(yōu)于新邊緣插值方法和傳統(tǒng)小波變換插值法得到的放大圖像。使得到的圖像在邊緣處更加細(xì)膩，細(xì)節(jié)和紋理更加清晰。
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??? 表1列出了用參考文獻(xiàn)[1]方法、傳統(tǒng)小波變換方法和本文方法放大后圖像的峰值信噪比(PSNR)。從PSNR中也可以看出，本文方法優(yōu)于參考文獻(xiàn)[1]方法和傳統(tǒng)小波變換方法，與參考文獻(xiàn)[1]方法相比，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出1.19dB和2.90dB，與傳統(tǒng)小波變換方法相比，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出0.07DB和0.02DB。
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??? 本文針對(duì)圖像超分辨率過程中傳統(tǒng)的插值方法誤差較大，處理后的邊緣細(xì)節(jié)及紋理不夠理想，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)方塊效應(yīng)或邊緣退化的缺點(diǎn)，利用二元樹復(fù)小波變換與邊緣插值方法相結(jié)合放大圖像，然后對(duì)放大圖像的高頻系數(shù)進(jìn)行修改，最后通過小波逆變換得到重構(gòu)后的圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比，本文算法可以明顯提高圖像的清晰度，既保留了豐富的細(xì)節(jié),又抑制了邊緣震鈴效應(yīng)，同時(shí)PSNR也有所提高。將二元樹復(fù)小波變換與邊緣插值方法相結(jié)合應(yīng)用到圖像超分辨率重建中來(lái)，具有一定的理論研究?jī)r(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
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