摘 要： 壓縮感知打破了傳統(tǒng)采樣定理的限制，提供了一種從少量的非自適應(yīng)線性測(cè)量值中就能恢復(fù)原始信號(hào)的方法。測(cè)量矩陣正是獲取這些測(cè)量值的關(guān)鍵所在，尋求結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能穩(wěn)定的測(cè)量矩陣一直是研究人員的目標(biāo)。在介紹壓縮感知測(cè)量矩陣的基礎(chǔ)上，提出了廣義輪換矩陣的改進(jìn)方法，結(jié)合正交基線性表示的思想，利用廣義輪換構(gòu)造的正交矩陣來(lái)生成新的測(cè)量矩陣。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，證明了新的測(cè)量矩陣具有較好的性能。
關(guān)鍵詞： 壓縮感知；稀疏信號(hào)；測(cè)量矩陣；廣義輪換矩陣；正交基
2004年，Donoho D[1]和Candès E[2]等人在泛函分析和逼近論的基礎(chǔ)上，結(jié)合信號(hào)稀疏表示理論提出了一個(gè)全新的信號(hào)采樣理論，即壓縮感知CS(Compressed Sensing)[1-2]。與傳統(tǒng)的Nyquist采樣定律不同，壓縮感知同時(shí)完成了對(duì)信號(hào)的采樣和壓縮，在信號(hào)的采樣階段就很好地避免了大量冗余數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。壓縮感知一經(jīng)提出，就引起人們的廣泛關(guān)注，在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，有著廣闊的發(fā)展前景。在壓縮感知理論中，信號(hào)的采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬，而是取決于信號(hào)本身的結(jié)構(gòu)和特性(稱為稀疏性，或可壓縮性)。其核心思想是：當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，就可以通過(guò)一個(gè)非自適應(yīng)的線性測(cè)量過(guò)程將原信號(hào)映射到低維空間，得到少量的測(cè)量值，然后通過(guò)求解一個(gè)稀疏最優(yōu)化問(wèn)題就可以恢復(fù)原始信號(hào)。
總地來(lái)說(shuō)，壓縮感知過(guò)程包括3個(gè)主要問(wèn)題：信號(hào)的稀疏表示、信號(hào)的線性測(cè)量和信號(hào)的重建。本文主要研究信號(hào)的線性測(cè)量，并介紹壓縮感知測(cè)量矩陣。
(1)隨機(jī)測(cè)量矩陣：如高斯矩陣[1，4]、貝努利矩陣[4]等。隨機(jī)矩陣可以用較少的采樣值獲得精確的重建，但是隨機(jī)測(cè)量矩陣自身存在的不確定性會(huì)給矩陣存儲(chǔ)和硬件實(shí)現(xiàn)帶來(lái)困難，也會(huì)造成仿真實(shí)驗(yàn)的不確定性。
(2)確定性測(cè)量矩陣：如多項(xiàng)式測(cè)量矩陣[5]等。相比隨機(jī)測(cè)量矩陣，確定性測(cè)量矩陣可以節(jié)省存儲(chǔ)空間，易于硬件實(shí)現(xiàn)，也更易于設(shè)計(jì)快速算法，但是其重建效果較差，精確重建需要的測(cè)量值較多。
(3)部分隨機(jī)測(cè)量矩陣：如部分正交矩陣[6]、部分哈達(dá)瑪矩陣[4]、托普利茲和輪換矩陣[7]等。部分隨機(jī)矩陣既有部分的隨機(jī)性，又兼具一定的確定性，性能較好，硬件實(shí)現(xiàn)也相對(duì)容易。
3 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果
為了驗(yàn)證構(gòu)造的新測(cè)量矩陣的性能，采用Matlab圖像庫(kù)中提供的標(biāo)準(zhǔn)256×256 Lena圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。首先利用小波變換對(duì)原圖像進(jìn)行稀疏化處理，然后分別選用新矩陣、部分哈達(dá)瑪、托普利茲、廣義輪換、部分正交等測(cè)量矩陣對(duì)稀疏化后的圖像進(jìn)行測(cè)量，最后采用OMP[10]重建算法對(duì)壓縮后的圖像信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，得到恢復(fù)圖像。針對(duì)壓縮比M/N≤0.5的情況，得到圖1所示的峰值信噪比(PSNR)性能比較圖。
由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，廣義輪換矩陣的性能要優(yōu)于其他測(cè)量矩陣，而因?yàn)樾碌臏y(cè)量矩陣是由廣義輪換矩陣改進(jìn)了向量原子后得到的，所以針對(duì)不同的壓縮比，新矩陣的性能變化曲線與廣義輪換矩陣相似，但整體性能要比廣義輪換矩陣高出3 dB左右。在壓縮比較小時(shí)，新矩陣相比于其他測(cè)量矩陣具有更突出的優(yōu)勢(shì)，驗(yàn)證了確定數(shù)+高斯隨機(jī)數(shù)的偽隨機(jī)數(shù)更適合這種壓縮比較小的情況。整體而言，對(duì)于壓縮比M/N≤0.5的情況，新的測(cè)量矩陣在和其他部分測(cè)量矩陣的對(duì)比中表現(xiàn)出了更好的性能。
圖2給出了256×256 Lena圖像的原始圖像和利用新的測(cè)量矩陣測(cè)量后恢復(fù)的圖像，此處選擇壓縮比M/N=0.5，此時(shí)的峰值信噪比PSNR達(dá)到了30.28。
本文旨在研究壓縮感知中的測(cè)量矩陣，改進(jìn)了廣義輪換矩陣的向量原子，結(jié)合正交基線性表示的構(gòu)造方法，提出用確定數(shù)+隨機(jī)數(shù)的偽隨機(jī)數(shù)作為正交基系數(shù)，構(gòu)造了新的測(cè)量矩陣——基于正交基線性表示的二進(jìn)制生成矩陣。首先，改進(jìn)廣義輪換矩陣向量原子，采用二進(jìn)制1和0交替的向量原子，矩陣更稀疏，硬件實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單；然后，結(jié)合正交基線性表示的思想，將廣義輪換構(gòu)造的正交矩陣作為正交基，針對(duì)M/N≤0.5的情況，提出采用確定數(shù)+隨機(jī)數(shù)組合的偽隨機(jī)數(shù)作為線性系數(shù)，構(gòu)造出新的測(cè)量矩陣。選擇二維圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用不同測(cè)量矩陣進(jìn)行對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示新的測(cè)量矩陣擁有更好的性能。
參考文獻(xiàn)
[1] DONOHO D.Compressed sensing[J].IEEE Transaction on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.
[2] CANDES E.Compressive sampling[A].Proceedings of the international congress of mathematicians[C].Madrid，Spain，2006：1433-1452.
[3] CANDES E，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transaction on Information Theory，2006，52(2)：489-509.
[4] DONOHO D，TSAIG Y.Extensions of compressed sensing[J]. Signal Processing，2006，86(3)：533-548.
[5] DEVORE R.Deterministic constructions of compressed sensing matrices[J].Journal of Complexity，2007，23(4-6)：918-925.
[6] CANDES E，TAO T.Near optimal signal recovery from random projections：universal encoding strategies[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12)：5406-5425.
[7] RAUHUT H.Circulant and toeplitz matrices in compressed sensing[J].In Processing SPARS'09，2009，2(13)：1124-1132.
[8] 李浩.用于壓縮感知的確定性測(cè)量矩陣研究[D].北京：北京交通大學(xué)，2011.
[9] CANDES E.The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].C.R.Math.Acad.Sci.Paris，2008，346(9-10)：589-592.
[10] TROPP J，GILBERT A.Signal recovery from partial infor-mation via orthogonal matching pursuit[EB/OL].(2005-04). [2012-11-22].http：//www.personal.umich.edu/_jtropp/papers/TG05-Signal-Recovery.pdf.