0 引言

　　被廣泛應(yīng)用的三相電壓型逆變器是由多個(gè)全控型開關(guān)器件、二極管和濾波電感、電容等組成的一類時(shí)變的、耦合的、多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)[1]，為方便控制，人們總希望將其化為線性系統(tǒng)。精確線性化這種非線性控制方法通過非線性坐標(biāo)變換可將原來的非線性系統(tǒng)化為線性系統(tǒng)，從而將非線性系統(tǒng)的綜合問題化為線性系統(tǒng)的綜合問題[2]。經(jīng)文獻(xiàn)檢索，該方法已被應(yīng)用到Buck變換器、逆變器等電力電子變換器系統(tǒng)中[3-4]。在上述文獻(xiàn)中，應(yīng)用精確線性化得到的線性系統(tǒng)采用線性控制策略時(shí)，多結(jié)合最優(yōu)控制方法。在選取二次型性能指標(biāo)中的對(duì)稱矩陣Q和R時(shí)，在文獻(xiàn)[3]中采用經(jīng)驗(yàn)矩陣數(shù)值，對(duì)怎樣選取、如何選取并未給出依據(jù)；在文獻(xiàn)[4]中選取的Q矩陣與系統(tǒng)的負(fù)載參數(shù)有關(guān)，一旦選取特定的Q矩陣，當(dāng)負(fù)載參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，采用原來反饋增益矩陣，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是否仍然較優(yōu)值得商榷。如何選擇反饋增益矩陣參數(shù)，減少其隨機(jī)性是值得探討的問題。

　　反步法是一種對(duì)帶有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)有效的設(shè)計(jì)方法，比較適合在線控制[5]。精確線性化得到的線性系統(tǒng)一般均可化為帶有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式模型，再對(duì)其采用反步法，比較容易得到系統(tǒng)的控制規(guī)律。本文將這兩種方法結(jié)合起來應(yīng)用于三相電壓型逆變器系統(tǒng)中，并推導(dǎo)出一種非線性復(fù)合控制的模型，為逆變器的有效控制提供理論依據(jù)。

1 三相電壓型逆變器的線性化分析

　　1.1 三相電壓型逆變器的數(shù)學(xué)模型分析

　　圖1為三相電壓型逆變器的電路拓?fù)洌瑘D中sij(i∈{a，b，c})，j∈{p，n})為全控型器件，Lf、Cf為濾波電感和電容，R為負(fù)載電阻。電路工作時(shí)每相橋臂中僅有一個(gè)開關(guān)器件導(dǎo)通，定義開關(guān)函數(shù)Si，當(dāng)Si=1表示與p相連，Si=0表示與n相連。定義虛擬線電流iab=ia-ib，ibc=ib-ic，ica=ic-ia，線開關(guān)函數(shù)sab=sa-sb，sbc=sb-sc，sca=sc-sa。依據(jù)6個(gè)開關(guān)的8種狀態(tài)和基爾霍夫定律可以得到[1]：

　　對(duì)于式(1)這樣的多輸入、多輸出的非線性系統(tǒng)，存在uAB+uBC+uCA=0，iab+ibc+ica=0。式(1)中獨(dú)立的微分方程數(shù)僅有4個(gè)，不妨取式(1)中的第1、2、4、5行。引入開關(guān)周期平均算子式(2)將式(1)離散系統(tǒng)變換為連續(xù)的系統(tǒng)[1]，其中TS為開關(guān)周期，x(t)為電路中的某電量。

　　對(duì)式(1)求開關(guān)周期平均后，得到式(3)，式中各量均為開關(guān)周期平均值，為討論方便，各變量仍保持原有書寫格式。dab=da-db，dbc=db-dc，dca=dc-da為線間占空比。

　　1.2 三相電壓型逆變器的線性化條件驗(yàn)證

　　對(duì)于式(3)選取狀態(tài)變量為x，控制輸入變量為占空比d，輸出變量為線電壓y。具體含義為x=[x1 x2 x3 x4]T=[iab ibc uAB uBC]T，d=[dab dbc]T，y=[h1(x) h2(x)]T=[uAB uBC]T。系統(tǒng)的維數(shù)為4，式(3)對(duì)應(yīng)的仿射非線性數(shù)學(xué)模型為式(4)：

　　依據(jù)微分幾何理論，如果滿足下述2個(gè)條件則系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)線性化[2]：

　　(1)矩陣[g1(x) g2(x) adf g1(x) adf g2(x)]在x0鄰域內(nèi)的秩為4。

　　(2)下述4個(gè)向量場(chǎng)的集合在x=x0處每個(gè)都是對(duì)合的：

　　D1={g1(x)}，D2={g1(x)，g2(x)}，

　　D3={g1(x)，g2(x)，adf g1(x)}，

　　D4={g1(x)，g2(x)，adf g1(x)，adf g2(x)}。

　　對(duì)條件(1)的驗(yàn)證，通過計(jì)算李括號(hào)得到式(5)：

　　顯然[g1(x) g2(x) adf g1(x) adf g2(x)]為對(duì)角陣，且與x無關(guān)，可以驗(yàn)證它在全局范圍內(nèi)的秩均為4。即條件(1)滿足。將式(5)帶入向量場(chǎng)D1、D2、D3、D4中，由于它們與x無關(guān)為恒向量場(chǎng)，任意兩個(gè)恒向量場(chǎng)的李括號(hào)為零向量，因此D1、D2、D3、D4均是對(duì)合的，即條件(2)滿足。當(dāng)系統(tǒng)滿足條件(1)和(2)時(shí)，可以選取一組輸出函數(shù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)反饋線性化。對(duì)輸出h1(x)=x3，計(jì)算相應(yīng)的李導(dǎo)數(shù)有：

　　根據(jù)上式計(jì)算的結(jié)果和系統(tǒng)相對(duì)階的概念可知，對(duì)輸出h1(x)的關(guān)系度為2[3]。對(duì)輸出h2(x)=x4，計(jì)算相應(yīng)的李導(dǎo)數(shù)，同理可得到對(duì)輸出h2(x)的關(guān)系度為2。通過坐標(biāo)變換可將原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個(gè)能控的線性系統(tǒng)。

　　1.3 精確線性化

　　令z1=h1(x)，z2=Lf   h1(x)，z3=h2(x)，z4=Lf   h2(x)，并對(duì)其求導(dǎo)可得到式(11)：

2 三相電壓型逆變器的反步設(shè)計(jì)方法

　　將式(12)所示的系統(tǒng)模型寫成具有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的一般表達(dá)式[2]：

　　其中z1=[z1  z3]T=[x3  x4]T=[uAB  uBC]T，z2=[z2  z4]T，v=[v1  v2]T，F(xiàn)1(z1)=0，F(xiàn)2(z1，z2)=0，G1(z1)=I2×2，G2(z1，z2)=I2×2。系統(tǒng)的階數(shù)為2，應(yīng)用反步設(shè)計(jì)法時(shí)可按兩步進(jìn)行：

　　(1)定義系統(tǒng)跟蹤誤差相量矩陣E1為式(15)，式中z1ref為輸出期望值。

　　對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)并整理后得到：

　　定義輔助誤差相量E2矩陣函數(shù)為：

　　其中z2ref為虛擬控制相量。將式(17)代入式(16)中可得：

　　設(shè)計(jì)虛擬控制相量z2ref為：

　　式中k1=k11  00   k12為反饋增益矩陣，k11、k12為正實(shí)數(shù)。將式(19)代入式(18)得到：

　　對(duì)于式(20)，如果E2→0，則E1→0。

　　選取Lyapunov 函數(shù)為：

　　對(duì)式(21)求導(dǎo)，可得到：

　　(2)對(duì)式(18)求導(dǎo)得到：

　　設(shè)計(jì)控制相量v為：

　　式中k2=k21  00   k22為反饋增益矩陣，k21、k22為正實(shí)數(shù)。將式(24)代入式(23)得到：

　　選取Lyapunov函數(shù)為：

　　對(duì)式(26)求導(dǎo)可得到：

　　根據(jù)Lyapunov 第二方法可判定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

　　實(shí)驗(yàn)參數(shù)：給定三相對(duì)稱輸出電壓峰值為100 V，輸出頻率設(shè)定為50 Hz，udc=150 V，TS=0.1 ms，R=20 ，Lf=5 mH，Cf=5 F。反饋增益選為：k11=k12=6 000，k21=k22=12 000。圖2為起動(dòng)實(shí)驗(yàn)波形，圖3為負(fù)載突變時(shí)波形，負(fù)載由20 跳變?yōu)?0 ，然后再由10 跳變?yōu)?0 。圖4為直流電壓突變實(shí)驗(yàn)波形，其中直流電壓變化范圍為150 V→120 V→150 V。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)、直流電壓擾動(dòng)具有較強(qiáng)的抗擾能力。

4 結(jié)論

　　本文將三相逆變器系統(tǒng)的仿射非線性數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過精確線性化得到具有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式模型，再應(yīng)用反步設(shè)計(jì)方法，推導(dǎo)出系統(tǒng)的控制模型。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該復(fù)合控制策略的有效性。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 徐德鴻.電力電子系統(tǒng)建模與控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：6-12.

　　[2] 胡躍明．非線性控制系統(tǒng)理論與應(yīng)用[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005：188-193．

　　[3] 鄧衛(wèi)華，張波，胡宗波，等．CCM Buck變換器的狀態(tài)反饋精確線性化的非線性解耦控制研究[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24(5)：120-125.

　　[4] 帥定新，謝運(yùn)祥，楊金明，等.基于狀態(tài)反饋精確線性化單相全橋逆變器的最優(yōu)控制[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，24(11)：120-126.

　　[5] YANG J H，WU J，HU Y M．Backstepping method and its applications to nonlinear robust  control[J]．Control and Decision，2002，17(S)：64l-647.