摘 要： 針對室內(nèi)聲學非線性系統(tǒng)室內(nèi)沖激響應(yīng)快速檢測的問題，提出了一種基于連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號綜合檢測的方法。通過簡要介紹非線性系統(tǒng)Volterra模型后，著重闡述了作為激勵信號的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號和實現(xiàn)非線性系統(tǒng)沖激響應(yīng)快速檢測的基本原理和相關(guān)技術(shù)。最后，通過一個應(yīng)用實例驗證了該方法的可行性和快速性。
關(guān)鍵詞： 非線性系統(tǒng)；沖激響應(yīng)；連續(xù)指數(shù)掃頻信號；快速檢測
0 引言
在傳統(tǒng)的室內(nèi)聲學沖激響應(yīng)測量中，一般采用周期性脈沖[1]和最大長度序列[1-2]兩種檢測方法。然而，周期性脈沖測量不但測試時間長、信噪比差，而且由于激勵能量低而不能輸出非線性失真；而最大長度序列測量雖然改善了其信噪比，然而，其要求系統(tǒng)必須有良好的線性。因此，傳統(tǒng)的方法無法分離非線性系統(tǒng)的線性與非線性響應(yīng)，基于以上的問題，本文提出了一種基于非線性系統(tǒng)的Volterra數(shù)學模型，采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號作為激勵信號，利用Hilbert-Huang變換技術(shù)和相關(guān)的逆濾波器技術(shù)實現(xiàn)快速簡捷的解決方法。
1 非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型
室內(nèi)聲學系統(tǒng)一般可認為信號先經(jīng)過一個非線性系統(tǒng)，然后再在一個線性系統(tǒng)中傳輸，其原理框圖如圖1所示。
對于一個無記憶的非線性系統(tǒng)的特征可由N階Volterra核函數(shù)[3]KN（t）表示，非線性的系統(tǒng)響應(yīng)如式（1）所示：
Farina[4-5]指出該模型下的非線性系統(tǒng)的全局響應(yīng)可以由一個高斯白噪聲n（t）加上一系列的沖激響應(yīng)hi（t）（hi（t）=ki（t）?茚h（t））和相應(yīng)不同功率的輸入信號做卷積的結(jié)果組成。該模型下的全局響應(yīng)如式（2）所示：
在實際應(yīng)用中，這樣的系統(tǒng)不失一般性。然而，實踐中測量這種系統(tǒng)的各階沖激響應(yīng)函數(shù)hi（t）往往又是非常耗時、困難和復雜的。下面將介紹一種通過采用特定的激勵信號測量和相關(guān)的技術(shù)處理，快速獲取系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)分布的方法。
2 系統(tǒng)信號源的選擇和沖激響應(yīng)實現(xiàn)的相關(guān)技術(shù)
2.1 激勵信號的選擇
在測量方法中，既希望測量較寬的頻帶，又希望測量時間盡可能短，并且還希望在測量的頻率范圍內(nèi)得到更為精確的結(jié)果。在傳統(tǒng)的測量中，主要選擇線性正弦掃頻信號和離散指數(shù)掃頻信號兩種信號作為激勵信號。線性正弦掃頻信號作為激勵信號，其頻率呈線性連續(xù)變化，在22 Hz~22 kHz的頻率范圍下測試，測試時間大概需要15 s；為縮短測量時間，S.Temme等[6]提出了離散指數(shù)掃頻信號，該信號頻率點以指數(shù)比率增長，該信號是以犧牲測量精度為代價，換取更短的測量時間，但是，在精度為1/24倍頻程下測試，測量時間也需要十多秒。
為了解決以上兩種信號在時間和精度上的問題，本文采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號作為激勵信號。該激勵信號的形式如式（3）所示：
其中，A為信號的幅度，（t）為信號的瞬時相位，T為信號掃頻的總時間，w1和w2分別為信號的起始頻率和終止頻率。
該激勵信號隨著時間的變化，其頻率呈指數(shù)連續(xù)增長，在1 s內(nèi)從起始頻率20 Hz到終止頻率20 kHz的測量結(jié)果如圖2所示。
由圖2（a）可知，該激勵信號能在較短時間內(nèi)連續(xù)測試頻率點，因此，得到的測量頻率更精確。結(jié)合圖2（b）和（c）可知，激勵信號隨著頻率的增加，能量降低。如圖2（c）所示，激勵信號的頻譜是一個粉紅譜，下文將介紹根據(jù)這樣的一個頻譜進行的幅度調(diào)制。另外，該激勵信號還有一個重要的特點，如下式（4）所示。
由上式可知，激勵信號某時刻頻率的N倍，等于該激勵信號頻率延時?駐t對應(yīng)的頻率，即?駐t表示了N次諧波出現(xiàn)的時刻與基波之間的時間間隔。此時間間隔只與激勵信號的起始頻率、終止頻率、掃頻總時間和N有關(guān)。因此，由式（5）可以確定某時刻頻率的N次諧波出現(xiàn)的時刻。
2.2 沖激響應(yīng)實現(xiàn)的基本原理
為了能夠?qū)崿F(xiàn)快速檢測系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)，需要構(gòu)造一個逆濾波器x′（t），它應(yīng)滿足與激勵信號相卷積后，其結(jié)果為狄拉克函數(shù)δ（t）。再結(jié)合第1節(jié)非線性系統(tǒng)的描述，在連續(xù)指數(shù)正弦掃頻激勵下，非線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)形式如式（6）所示：
其中，hi（t）表示第i階的沖激響應(yīng)，?駐ti表示第i階的沖激響應(yīng)與第1階沖激響應(yīng)（即線性響應(yīng)）之間的時間間隔，即上節(jié)介紹中的?駐t。由式（6）可知，由于連續(xù)指數(shù)掃頻信號和特定的逆濾波器的引入，一個復雜的非線性系統(tǒng)的線性沖激響應(yīng)和各階非線性沖激響應(yīng)以?駐ti的時間間隔被分開。另外，從某種意義上來說這一特定的逆濾波器也是后續(xù)系統(tǒng)另一種形式上的激勵信號，下一節(jié)將介紹這一特定的逆濾波器。
2.3 沖激響應(yīng)實現(xiàn)的相關(guān)技術(shù)——逆濾波器的實現(xiàn)
由上節(jié)可知，逆濾波器的創(chuàng)建基于非線性失真響應(yīng)和激勵信號。另外，考慮實際測量中，信號總是因果的，因此，還要求逆濾波器應(yīng)是一個因果的、穩(wěn)定的信號。根據(jù)參考文獻[7]中對創(chuàng)建逆濾波器的各種技術(shù)的分析，采用最簡單的最小二乘法技術(shù)求解逆濾波器。建立最小二乘法方程如式（7）所示：
[R]·{g}={k}（7）
其中，[R]矩陣為托普利茲矩陣，{g}為逆濾波器方程向量，{k}為系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)方程向量。
另外，由于測量系統(tǒng)采用連續(xù)指數(shù)掃頻信號作為激勵信號，根據(jù)上節(jié)介紹的逆濾波器和激勵信號的關(guān)系，再結(jié)合上文介紹的連續(xù)指數(shù)掃頻信號隨著頻率的增加，能量不斷降低的情況，為補償其在低頻和高頻時能量的不一致，需要對逆濾波器進行幅度調(diào)制。采用Hilbert-Huang變換技術(shù)對激勵信號的頻譜幅值進行分析研究，根據(jù)其幅度包絡(luò)的特點在時域上對逆濾波器進行包絡(luò)調(diào)制。下面對連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號的頻譜進行分析。
對非線性、非平穩(wěn)的連續(xù)指數(shù)掃頻激勵信號進行Hilbert-Huang變換，設(shè)激勵信號x（t）時域上的解析信號Zx（t）和頻譜Zx（f）分別為：
其中，H[x（t）]是x（t）的希爾伯特變換，ax（t）和x（t）分別為激勵信號的瞬時幅值和瞬時相位，Ax（f）為激勵信號頻譜的幅值。
設(shè)激勵信號的時域幅值ax（t）=1，由2.1節(jié)介紹的激勵信號的瞬時相位，對其進行兩次求導，再結(jié)合參考文獻[8]中公式：
可得激勵信號的頻譜幅值為：
其中，fi為激勵信號的瞬時頻率，
，連續(xù)正弦掃頻信號頻域的幅度沿頻率分布的情況如圖3所示。
結(jié)合圖3和式（11）可知，激勵信號的頻譜幅值是一個粉紅譜，Ax（f）正比，頻率越低，激勵信號幅值越大。從能量的角度來看，激勵信號的能量從低頻向高頻不斷衰減，與2.1節(jié)中圖2（c）介紹的激勵信號的頻譜幅值變化相一致。
根據(jù)激勵信號頻譜幅值隨頻率變化的特點，在時域上對逆濾波器進行幅度調(diào)制，求得的逆濾波器時域波形圖和頻譜如圖4所示。
3 應(yīng)用實例
為了驗證上述方法的有效性和快速性，將其用于揚聲器系統(tǒng)的沖激響應(yīng)測量。揚聲器系統(tǒng)測試基本框圖如圖5所示。
計算機產(chǎn)生激勵信號經(jīng)功放后加載到具有非線性特性的揚聲器，揚聲器產(chǎn)生的聲場隨后經(jīng)過空間線性傳播由傳送器接收，接收到的信號經(jīng)陰極輸出器輸入計算機，計算機讀取其數(shù)據(jù)，然后進行分析、處理。
采用起始頻率為20 Hz、終止頻率為20 kHz、掃頻時間為1 s的連續(xù)指數(shù)掃頻信號作為激勵信號對揚聲器系統(tǒng)進行測試，將系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果與上述的逆濾波器進行卷積后，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，得到的揚聲器系統(tǒng)的各階沖激響應(yīng)測量結(jié)果如圖6所示。
圖7（a）是連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號激勵法下的沖激響應(yīng)測量結(jié)果圖，圖7（b）和（c）分別為最大長度序列法和周期性脈沖法在室內(nèi)揚聲器系統(tǒng)下測量的沖激響應(yīng)結(jié)果圖[9]。結(jié)合圖6、圖7和參考文獻[9]可知，連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號激勵法的最大特點是能夠?qū)崿F(xiàn)對非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測，而最大長度序列法和周期性脈沖法無法將非線性系統(tǒng)中的線性與非線性響應(yīng)部分分離開來。
由上述可知，圖6中從右邊開始最高幅值的是1階沖激響應(yīng)即線性響應(yīng)，依次向左分別為2階、3階、4階等更高階的沖激響應(yīng)。它們以?駐ti的時間間隔依次被分隔開來，其中?駐ti可由上述推導的式（5）所求得，實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測。
此外，從圖6測量結(jié)果中可看出，系統(tǒng)響應(yīng)的噪聲在首尾處較大，這是由于激勵信號在首尾處由于信號幅度的突變而產(chǎn)生高頻能量造成的，為改善系統(tǒng)在首尾處產(chǎn)生的噪聲，可以對激勵信號進行加窗處理。
4 結(jié)論
本文從理論上對室內(nèi)聲學非線性系統(tǒng)和作為激勵信號的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號、逆濾波器的特性進行了分析研究，通過運用上述方法對具有非線性特性的揚聲器系統(tǒng)進行實際測試，揚聲器系統(tǒng)的線性沖激響應(yīng)和各階非線性沖激響應(yīng)被快速地測量出來，實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測。
參考文獻
[1] MULLER S， MASSARINI P. Transfer function measurement with sweeps[J]. Journal of the Audio Engineering Society， 2001，49（6）：443-471.
[2] VANDERKOOY J. Aspects of MLS measuring systems[C]. Convention of the Audio Engineering Society，1994：219-231.
[3] SCHETZEN M. The volterra and wiener theories of nonlinear systems[M]. New York： Wiley， 1980.
[4] FARINA A. Simultaneous measurement of impulse response and distortion with a swept-sine technique[C]. 108th Convention of the Audio Engineering Society，2000：19-22.
[5] ARMELLONI E， FARINA A， BELLINI A. Non-linear convolution： a new approach for the naturalization of distorting systems[C]. 110th Convention of the Audio Engineering Society， 2001：12-15.
[6] STEVE T， Brunet pascal enhancements for loose particle detection in loudspeakers[C]. 116th Convention of the Audio Engineering Society， 2004：8-11.
[7] FARINA A， RIGHINI F. Software implementation of an MLS analyzer， with tools for convolution， naturalization and inverse filtering[C]. 103th Convention of the Audio Engineering Society， 1997：26-29.
[8] COHEN L. Instantaneous frequency and group delay of a filtered signal[J]. J.Franklin Inst， 2000，337（5）：329-346.
[9] BART S G， JACQUES E J， DOMINIQUE A. Comparison of different impulse response measurement techniques[J]. Journal of the Audio Engineering Society， 2002，28（6）：153-157.