王蔚
　?。暇┼]電大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210000）

       摘要：該文主要是利用牽制控制方法對一類具有時延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步控制。該方法不同于最早的全局控制，僅是對網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點進(jìn)行控制。將這些節(jié)點的輸出量的差值作為控制器從而達(dá)到等同于全局控制的效果。同時根據(jù)最新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控原理計算出牽制控制所需要的最少節(jié)點數(shù)目，繼而通過設(shè)定合適的Lyapunov函數(shù)，并基于穩(wěn)定性和線性矩陣不等式等理論得出滿足要求的控制器設(shè)計準(zhǔn)則。最后，采用小世界模型進(jìn)行仿真，進(jìn)一步驗證了結(jié)論的正確性。
　　關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；牽制控制；狀態(tài)延時；最大匹配　　

0引言
　　復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)幾乎隨處可見，如萬維網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、無線通訊網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)等。這些網(wǎng)絡(luò)都與人們的生活息息相關(guān)，對這些網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究不但會促進(jìn)某些科學(xué)分支的發(fā)展，還會極大地改變?nèi)祟惖纳罘绞?。因此?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究尤為重要。其中，網(wǎng)絡(luò)同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中最重要的一個分支。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題可以分為內(nèi)部同步和外部同步。內(nèi)部同步是指網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點最終都收斂于同一個平衡點；外部同步是指不同網(wǎng)絡(luò)間達(dá)到的一種平衡狀態(tài)［12］。
　　最早關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究多是基于理想狀態(tài)下進(jìn)行的。如今，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在建?？刂萍皟?yōu)化時，通常會考慮一些不確定因素，如存在時延。例如，參考文獻(xiàn)［3］研究了兩類時延復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，其中一類網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的狀態(tài)具有不同時延，另一類網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點不僅狀態(tài)具有不同時延，每個節(jié)點本身的時延也不同。針對這兩類網(wǎng)絡(luò)，利用矩陣測度理論給出了網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù)。參考文獻(xiàn)［4］考慮在噪聲條件下，研究具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時延復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的外部同步問題，并采用自適應(yīng)方法設(shè)計控制器。上述這些文獻(xiàn)研究的時延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都是連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，而現(xiàn)實生活中更多的網(wǎng)絡(luò)是離散型網(wǎng)絡(luò)，如社會中的人際網(wǎng)絡(luò)、生物學(xué)中的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及工程應(yīng)用中的電力網(wǎng)絡(luò)等。因此研究離散型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更具有現(xiàn)實意義。本文主要研究關(guān)于離散型時延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部同步控制［56］。
　　最早對網(wǎng)絡(luò)控制的方法是全局控制，就是對每一個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點都施加控制器。但由于實際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點個數(shù)較多，若對每個節(jié)點都施加控制會使成本增高，因此通常只是控制部分有利的節(jié)點，進(jìn)而達(dá)到對整個網(wǎng)絡(luò)的控制。這就是目前研究較多的控制方法——牽制控制［7］。牽制控制同樣分為內(nèi)部牽制和外部牽制控制。本文主要利用牽制控制使所研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到外部同步。
　　參考文獻(xiàn)［711］都是對牽制控制的研究，多是基于兩個基本問題：一是可行性問題，即僅僅控制少部分節(jié)點能否達(dá)到網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定同步；二是有效性問題，即選取哪些節(jié)點來進(jìn)行控制。參考文獻(xiàn)［78］提出了牽制控制的策略，即對網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點進(jìn)行線性反饋控制，使網(wǎng)絡(luò)所有的節(jié)點達(dá)到同步狀態(tài)。參考文獻(xiàn)［9］利用一個節(jié)點來牽制控制整個網(wǎng)絡(luò)；參考文獻(xiàn)［10］利用自適應(yīng)的方法來牽制整個網(wǎng)絡(luò)，自適應(yīng)牽制的方法克服了預(yù)估反饋增益的問題。上述這些文獻(xiàn)研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本都是在理想情況下的連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，具有一定的局限性。
　　在分析并結(jié)合上述這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建出一種更為合理的離散型時延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并利用Poission過程來描述耦合時延。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，同時結(jié)合隨機(jī)分析法，給出了離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在存在耦合時延時控制器設(shè)計準(zhǔn)則。最后，以包含20個節(jié)點的離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為例，進(jìn)行數(shù)值仿真，驗證本文所提出的控制設(shè)計的準(zhǔn)確性。
1問題描述
　　假設(shè)一個具有時變時延性質(zhì)的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：
　　

　　其中,i=1,2,3,...,N,節(jié)點i具有n個狀態(tài)：xi(k)=(xi1(k),xi2(k),...,xin(k))T, f(xi(k))=Aixi(k),Ai∈Rn×n,A=diag(A1,A2,A3,...,AN),?！蔙n×n是一個內(nèi)部耦合矩陣。W=(wij)∈RN×N,表示網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中wij0(i≠j),但不能全部為0?！芅m=1wkm=∑Nm=1wmk=0(k=1,2,3,...,N)。τ(k)為網(wǎng)絡(luò)中的時變時滯，假設(shè)其滿足Poission分布如下：
　　Prob(τ(k)=τ)=λττ!e－τ,τ∈R,0<λ<1，方差σ2=λ。節(jié)點i的輸出yi(k)∈Rm,C=diag(C1,C2,C3,...,CN)。
2牽制控制器的設(shè)計
　　本文采用牽制控制的思想，假設(shè)控制的節(jié)點屬于一個集合S，整個網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點屬于集合N。
　　

　　用式（2）減去式（1）可以得到誤差系統(tǒng)如下：
　　

　　設(shè)計如下的牽制反饋控制器：
　　

　　在下面論證過程中會用到以下引理。
　　

　　這樣狀態(tài)估計器如（式（2））在牽制控制器ui的選擇控制下可以有效地估計復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（如式（1））的狀態(tài)。
　　證明：構(gòu)建Lyapunove函數(shù)
　　

　　W是將W中元素wij替換為a2λmax(ΓTΓ)w2ij后的矩陣。因此，由Lyapunov定理可知：只要ΔV(k)≤0，則當(dāng)k→∞時，估計誤差就將趨于0，繼而可以得出狀態(tài)估計器可以有效地估計原網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)信息。從而得出定理1的結(jié)論。
3數(shù)值仿真
　　仿真中，利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型。該模型是由20個節(jié)點組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同時每個節(jié)點有三種狀態(tài)，可表示為xi=(xi1,xi2,xi3)T,i=1,2,3...,20，參數(shù)可設(shè)定如下：
　

　　根據(jù)最大匹配算法可以算出該網(wǎng)絡(luò)至少要控制3個節(jié)點，根據(jù)上述判斷選取增益矩陣K=(0.9,0.8,0.9)T,其仿真結(jié)果如下圖1~圖3所示，3幅圖中橫坐標(biāo)代表時間刻度，豎坐標(biāo)ei1(k)、ei2(k)、ei3(k)表示節(jié)點的估計誤差。

　　由仿真圖可知，節(jié)點誤差收斂于零，故狀態(tài)估計器（式（2））在牽制反饋控制器ui的作用下可以有效地估計復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（式（1））的狀態(tài)。
4結(jié)論
　　本文主要研究了具有狀態(tài)延時的離散時間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制狀態(tài)估計的問題。將牽制控制的方法運用到狀態(tài)延時離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，即通過控制網(wǎng)絡(luò)中少部分節(jié)點，以達(dá)到對整個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行狀態(tài)估計的目的，大大降低了狀態(tài)估計的成本，具有實際工程運用的價值。利用Lyapunove穩(wěn)定性理論，給出了牽制控制狀態(tài)估計器的設(shè)計準(zhǔn)則，并同時在理論上給出了需要牽制多少個節(jié)點才能達(dá)到有效進(jìn)行狀態(tài)估計的要求。最后，通過仿真實例，驗證了所設(shè)計狀態(tài)估計器的可行性和有效性。
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