0 引言

    傅里葉分析技術(shù)^[1]在分析時變非線性信號時存在無法表述信號的時頻局部特性的局限性^[2]。為了分析處理非平穩(wěn)信號，人們相繼提出了一系列新的信號分析方法：短時傅里葉變換^[3]、雙線性時頻分布^[4]、Gabor變換^[5]、小波分析^[6]、分數(shù)階傅里葉變換^[7]等。這些算法從不同程度上對非平穩(wěn)信號的時變性給予了恰當(dāng)?shù)拿枋?，改進了傅里葉分析的性能^[8]。然而，方法仍是全局范疇，原因在于其信號分析性能取決于基函數(shù)的選取，存在局限性。

    1998年Huang等人提出了一種全新的信號時頻分析方法——希爾伯特·黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)^[9]。該方法首先采用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decom-position，EMD)算法將非平穩(wěn)信號逐級分解為若干個固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)和一個殘余量，然后再對各個IMF分量進行希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)得到能夠準確反映信號能量在空間(或時間)各尺度上的分布規(guī)律^[9]的Hilbert譜^[10]。EMD具有數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)性，能分析非線性非平穩(wěn)信號，不受Heisenberg測不準原理^[11]制約等優(yōu)點。

    然而，Huang提出的基于篩分(Sifting)算法的EMD得到的IMF分量^[12]存在模態(tài)混疊(Mode Mixing，MM)^[9]。模態(tài)混疊的出現(xiàn)不僅會導(dǎo)致錯假的時頻分布，也使IMF失去物理意義。圍繞模態(tài)混疊的消除或抑制，國內(nèi)外開展了一系列的研究，并獲得不同程度的效果。本文分別針對一維和多維EMD抑制模態(tài)混疊，總結(jié)歸納了相關(guān)研究取得的主要成果，指出了各方法抑制效果的改進及仍有的不足。最后討論了相關(guān)研究及應(yīng)用未來的發(fā)展趨勢。

1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解及模態(tài)混疊

    EMD自適應(yīng)的逐級分解^[13]過程中，IMF必須滿足以下兩個條件：(1)信號極值點和零點數(shù)相同或相差一個；(2)由信號局部極大、小值點擬合的上、下包絡(luò)線的局部均值為零，也即上下包絡(luò)線關(guān)于時間軸局部對稱^[14]。設(shè)待分解信號為X(t)，EMD算法的計算步驟如下^[9]：

    式(1)說明EMD分解具有完備性^[9]，信號X(t)經(jīng)分解后還能通過所有IMF及剩余分量被精確重構(gòu)出來。

    EMD在非線性非平穩(wěn)信號分析中具有顯著優(yōu)勢。與傳統(tǒng)時頻分析技術(shù)相比，EMD無需選擇基函數(shù)，其分解基于信號本身極值點的分布。而算法本身缺少完整的理論基礎(chǔ)，在實際計算與應(yīng)用中還存在著許多不足，包括模態(tài)混疊^[15]、端點效應(yīng)^[16]、篩分迭代停止標準^[12]等。一般情況下，每個固有模態(tài)函數(shù)只包含一種頻率成分，不存在模態(tài)混疊的現(xiàn)象。但是，當(dāng)信號中存在由異常事件(如間斷信號、脈沖干擾和噪聲等)引起的間歇(Intermittency)現(xiàn)象時，EMD的分解結(jié)果就會出現(xiàn)模態(tài)混疊^[9]。

2 集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    為克服EMD的模態(tài)混疊，2009年Wu和Huang提出一種噪聲輔助信號分析方法——集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Ensemble EMD，EEMD)^[17]。該算法利用EMD濾波器組^[18]行為及白噪聲頻譜均勻分布的統(tǒng)計特性^[19]，使Sifting過程信號極值點分布更趨勻稱，有效抑制由間歇性高頻分量等因素造成的模態(tài)混疊。設(shè)待分解信號為X(t)，EEMD算法的計算步驟如下^[17]：

    然而，在EEMD中，每個加噪信號 hⁱ(t)獨立地被分解，使得每個 hⁱ(t)分解后可能產(chǎn)生不同數(shù)量的IMF，導(dǎo)致集合平均時IMF分量對齊困難。此外，添加的白噪聲幅值和迭代次數(shù)依靠人為經(jīng)驗設(shè)置，當(dāng)數(shù)值設(shè)置不當(dāng)時，無法克服模態(tài)混疊^[20]。雖然增加集合平均次數(shù)可降低重構(gòu)誤差，但這是以增加計算成本為代價，且有限次數(shù)的集合平均并不能完全消除白噪聲，導(dǎo)致算法重構(gòu)誤差大，分解完備性差^[21]。

3 互補集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    Yeh等于2010年提出了互補集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Complementary EEMD，CEEMD)^[22]。該方法向原始信號中加入正負成對的輔助白噪聲，在集合平均時相消，能有效提高分解效率，克服EEMD重構(gòu)誤差大、分解完備性差的問題。設(shè)待分解信號為X(t)，CEEMD算法的計算步驟如下^[22]：

4 自適應(yīng)噪聲的完整集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    為解決集合平均時IMF分量對齊問題，TORRES M E等在2011年從分解過程和添加白噪聲上對CEEMD進行改進，提出了自適應(yīng)噪聲的完整集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Complete EEMD with Adaptive Noise，CEEMDAN)^[24]。設(shè)待分解信號為X(t)，定義操作算子Ek(·)來表示信號經(jīng)過EMD分解后得到的第k階固有模態(tài)分量，CEEMDAN算法可描述如下^[24]：

    Wu和Huang建議^[17]使用小振幅值來處理由高頻信號支配的數(shù)據(jù)，反之則增大噪聲幅值。在分解過程中添加的是白噪聲經(jīng)EMD分解得到的各階IMF分量，最后重構(gòu)信號中的噪聲殘余比EEMD的結(jié)果小，降低了篩選次數(shù)。另一方面，各組信號經(jīng)CEEMDAN分解出第一階固有模態(tài)分量后立即進行集合平均，避免了CEEMD中各組IMF分解結(jié)果差異造成最后集合平均難以對齊的問題，也避免了其中某一階IMF分解效果不好時，將影響傳遞給下一階，影響后續(xù)分解。盡管如此，CEEMDAN仍然有一些需要改進的方面^[23]，如 IMF仍包含殘余噪聲；在分解的早期階段，信號會出現(xiàn)一些“虛假”模式，導(dǎo)致在前兩階或三階模態(tài)中仍包含了大量的噪聲和信號的相似尺度^{[24，26]}。

5 改進的自適應(yīng)噪聲集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    針對CEEMDAN存在的殘余噪聲及“虛假”模式問題，TORRES M E等試圖估計每次分解剩余分量r_k的“真實”平均包絡(luò)，進一步提出了改進算法^[23]。定義M(·)為對信號進行局部包絡(luò)平均運算，即取信號上下包絡(luò)的平均值；nⁱ(t)表示方差為1的零均值白噪聲。設(shè)待分解的信號為X(t)，改進的CEEMDAN算法描述如下[23]：

    (6)判斷是否滿足終止條件，若滿足，則停止分解。

    與EEMD和CEEMDAN相比，改進的CEEMDAN引入局部包絡(luò)平均減小殘余噪聲；在分解過程中，依次計算IMF，保證了分解的完整性，信號重構(gòu)誤差更小。但計算量過大，實時性有待進一步改進^[23，27]。

6 多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解及其噪聲輔助的模態(tài)混疊抑制

    將EMD直接用于分解多通道信號時存在各通道IMF分量在數(shù)量和頻率尺度上難以對齊問題，使得重構(gòu)后各通道信號難以保持信號原有的相位關(guān)系^[28]。Rehman等人在2010年提出了能夠同時處理多通道信號的多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Multivariate EMD，MEMD)^[28]。在此基礎(chǔ)上，將白噪聲作為信號其中一維或多維加入進行MEMD處理，提出了噪聲輔助多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Noise Assisted MEMD，NA-MEMD)^[29-30]。由于白噪聲具有頻譜均勻分布的統(tǒng)計特性，該算法能有效抑制經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解存在的模態(tài)混疊。

6.1 多元經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    MEMD 的提出解決了多通道信號的模式校準問題。但MEMD分解也會得到一些虛假分量，仍存在模態(tài)混疊問題^[33]，影響對后續(xù)的特征提取。

6.2 噪聲輔助的多元經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

    NA-MEMD方法是EMD的多變量噪聲擴展形式，算法不但充分利用了MEMD處理白噪聲時具有的固定通帶的頻率特性，而且加入額外的獨立白噪聲確保分解后信號與噪聲的IMF分量完全可分離。相較于基于EEMD分解的方法無需進行IMF的集合平均，提高了計算效率，減小了噪聲干擾，性能更為優(yōu)越^[33，34]。

7 結(jié)論

    EMD將信號進行平穩(wěn)化處理的過程中存在模態(tài)混疊，影響該方法的性能及應(yīng)用。本文圍繞模態(tài)混疊抑制，總結(jié)歸納了一維及多維EMD研究方面的主要工作。EEMD雖然能有效抑制模態(tài)混疊，但在分解過程中添加的輔助白噪聲最終需要增加集合平均次數(shù)來抵消，計算耗時長，重構(gòu)誤差大。CEEMD在抑制模態(tài)混疊的同時正負成對噪聲相消，部分降低了殘留噪聲的影響，減輕了集合平均抑制添加白噪聲的負擔(dān)，提高了計算效率。CEEMDAN及其改進方法在每次分解時添加白噪聲的IMF分量，添加噪聲逐級減少，固有模態(tài)分量中殘留噪聲更少，有效減小了重構(gòu)誤差，且在分解的每個階段都有一個全局停止標準，分解效率最高。MEMD對多維信號同時進行分解，確保了各通道IMF分量在數(shù)量和尺度上相匹配，重構(gòu)的各通道信號間的相位無畸變。但由于其采用與EMD算法相一致的思想， MIMF也會存在模態(tài)混疊。NA-MEMD通過引入輔助噪聲通道，消除了MEMD中存在的模態(tài)混疊，同時還保證了信號分解的完備性，分解性能最優(yōu)，但由于多維空間極值點包絡(luò)及局部均值的估計算法過于復(fù)雜，計算量最大。特別是對空間單位球面的采樣顯著增加了采樣，導(dǎo)致計算量快速增加，分解效率最差。因而需要在計算精度和復(fù)雜度之間折衷考慮。

    針對模態(tài)混疊抑制，未來還可以從添加的輔助信號形態(tài)、發(fā)生模態(tài)混疊的IMF再處理及對信號濾波后再分解三個方面展開探索。此外，從理論上深入研究EMD處理過程中模態(tài)混疊發(fā)生的機理也有助于探索新的抑制方法，提高EMD算法的精度和效率，提升其應(yīng)用水平和適應(yīng)范圍。

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作者信息:

戴  婷1，張榆鋒1，章克信2，何冰冰1，朱泓萱1，張俊華1

（1.云南大學(xué) 信息學(xué)院電子工程系，云南 昆明650091；2.昆明醫(yī)科大學(xué)第二附屬醫(yī)院，云南 昆明650031）